Inégalité de Hölder

En analyse, l’inégalité de Hölder, ainsi nommée en l'honneur de Otto Hölder, est une inégalité fondamentale relative aux espaces de fonctions L^p, comme les espaces de suites ℓ^p. C'est une généralisation de l'inégalité de Cauchy-Schwarz. Il existe une formulation de l'inégalité utilisée en mathématiques discrètes.

Soient

• ${\displaystyle S}$ un espace mesuré,
• ${\displaystyle p,q\geq 1}$ (la valeur ${\displaystyle +\infty }$ étant permise) vérifiant la « relation de conjugaison »${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1,}$
• ${\displaystyle f\in L^{p}(S)}$ et ${\displaystyle g\in L^{q}(S)}$.

Alors, le produit ${\displaystyle fg}$ appartient à ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{1}(S)}$ et sa norme est majorée naturellement :

${\displaystyle \|fg\|_{1}\leq \|f\|_{p}\|g\|_{q}.}$

L'inégalité ne fonctionne pas sinon (se référer à la page wiki en anglais).

Plus généralement^[1], pour ${\displaystyle 0<p,q\leq +\infty }$ et ${\displaystyle r}$ défini par

${\displaystyle {\frac {1}{r}}={\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}}$,

si ${\displaystyle f\in L^{p}(S)}$ et ${\displaystyle g\in L^{q}(S)}$ alors ${\displaystyle fg\in L^{r}}$ et ${\displaystyle \lVert fg\rVert _{r}\leq \lVert f\rVert _{p}\lVert g\rVert _{q}}$.

De plus, lorsque ${\displaystyle p}$ et ${\displaystyle q}$ sont finis, il y a égalité si et seulement si ${\displaystyle |f|^{p}}$ et ${\displaystyle |g|^{q}}$ sont colinéaires presque partout (p.p.), c'est-à-dire s’il existe ${\displaystyle \alpha }$ et ${\displaystyle \beta }$ non simultanément nuls tels que ${\displaystyle \alpha |f|^{p}=\beta |g|^{q}}$ p.p.

Pour démontrer ce théorème, on peut utiliser un corollaire de l'inégalité de Jensen ou l'inégalité de Young^[2].

Inégalité de Cauchy-Schwarz

L'inégalité de Cauchy-Schwarz pour les espaces de Hilbert est le cas particulier où ${\displaystyle p=q=2}$ dans l'inégalité de Hölder.

Dimension finie

Lorsqu'on applique l'inégalité de Hölder à l’ensemble ${\displaystyle S=\lbrace 1,\dots ,n\rbrace }$ muni de la mesure de dénombrement, on obtient, pour ${\displaystyle 1\leq p,q\leq +\infty }$ avec ${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1}$ et pour tous vecteurs ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} ^{n}}$ (ou de ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$), l'inégalité

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}|x_{k}y_{k}|\leq {\Bigg (}\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}{\Bigg )}^{\frac {1}{p}}{\Bigg (}\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{q}{\Bigg )}^{\frac {1}{q}}.}$

Cette inégalité peut aussi être démontrée en exprimant les conditions d'optimalité d'un problème de minimisation d'une fonction linéaire sur la boule unité pour la norme ${\displaystyle \ell ^{p}}$ : voir la section Inégalités de Hölder.

Suites

L’inégalité précédente se généralise (en prenant, cette fois, ${\displaystyle S=\mathbb {N} }$) aux suites (ou aux séries selon le point de vue) : si ${\displaystyle x_{k},y_{k}}$ sont respectivement dans les espaces de suites ${\displaystyle \ell ^{p},\ell ^{q}}$, alors la suite « produit terme à terme » ${\displaystyle xy=(x_{k}y_{k})_{k\in \mathbb {N} }}$ est dans ${\displaystyle \ell ^{1}}$.

Soient ${\displaystyle 1\leq p,q\leq +\infty }$ avec ${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1}$, ${\displaystyle S}$ un espace mesuré, de tribu ${\displaystyle \Sigma }$ et de mesure ${\displaystyle \mu }$, et ${\displaystyle f\in {\mathcal {L}}^{p}(S)}$.

• Si ${\displaystyle p<+\infty }$, alors${\displaystyle \|f\|_{p}=\max \left\{\left|\int fg~\mathrm {d} \mu \right|~;~g\in \mathrm {L} ^{q}(S),~\|g\|_{q}\leq 1\right\},}$
• Si ${\displaystyle p=+\infty }$ et si tout élément ${\displaystyle A}$ de la tribu ${\displaystyle \Sigma }$ tel que ${\displaystyle \mu (A)=+\infty }$ contient un élément ${\displaystyle B}$ de ${\displaystyle \Sigma }$ tel que ${\displaystyle 0<\mu (B)<+\infty }$ (ce qui est vrai dès que ${\displaystyle \mu }$ est ${\displaystyle \sigma }$-finie^[3]), alors${\displaystyle \|f\|_{\infty }=\sup \left\{\left|\int fg~\mathrm {d} \mu \right|~;~g\in \mathrm {L} ^{1}(S),~\|g\|_{1}\leq 1\right\}.}$

Démonstration^[4]

D'après l'inégalité de Hölder, dans les deux cas, la borne supérieure de l'ensemble de droite est majorée par ${\displaystyle ||f||_{p}}$.

Inversement, minorons cette borne supérieure par la norme ${\displaystyle p}$ de ${\displaystyle f}$, que l'on peut supposer non-nulle. Par homogénéité, supposons même que ${\displaystyle \|f\|_{p}=1.}$

• Si ${\displaystyle p<+\infty }$, la borne est même un maximum c'est-à-dire qu'elle est atteinte : la fonction ${\displaystyle g}$ définie sur ${\displaystyle S}$ par${\displaystyle g(x)={\begin{cases}|f(x)|^{p}/f(x)&{\text{si }}f(x)\neq 0,\\0&{\text{sinon,}}\end{cases}}}$appartient à ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{q}}$ où sa norme vaut ${\displaystyle 1}$ et l'on a${\displaystyle \int fg~\mathrm {d} \mu =1=\|f\|_{p}.}$
• Si ${\displaystyle p=+\infty }$, soient ${\displaystyle \varepsilon \in \;]0\,;1[}$ et ${\displaystyle A=|f|>1-\varepsilon \in \Sigma }$, de mesure non-nulle puisque ${\displaystyle ||f||_{\infty }=1}$. L'hypothèse additionnelle garantit l'existence d'un ${\displaystyle B\in \Sigma }$, contenu dans ${\displaystyle A}$ et de mesure finie non-nulle. La fonction ${\displaystyle g}$ définie sur ${\displaystyle S}$ par${\displaystyle g(x)={\begin{cases}{\frac {|f(x)|}{\mu (B)f(x)}}&{\text{si }}x\in B,\\0&{\text{sinon}}\end{cases}}}$ appartient alors à ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{1}}$ où sa norme vaut ${\displaystyle 1}$ et l'on a${\displaystyle \int fg~\mathrm {d} \mu =\int _{B}{\frac {|f|}{\mu (B)}}~\mathrm {d} \mu \geq 1-\varepsilon .}$La borne supérieure que l'on cherchait à minorer est donc supérieure ou égale à ${\displaystyle 1-\varepsilon }$ pour tout ${\displaystyle \varepsilon \in \;]0\,;1[}$, ce qui prouve qu'elle est bien supérieure ou égale à ${\displaystyle ||f||_{\infty }}$.

Remarques sur le cas ${\displaystyle p=+\infty }$

• Même avec l'hypothèse additionnelle de l'énoncé, la borne supérieure n'est pas atteinte en général. Par exemple si ${\displaystyle x}$ est la suite de ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ définie par : ${\displaystyle x_{k}=1-2^{k}}$, alors pour toute suite non-nulle ${\displaystyle y}$ de norme inférieure ou égale à ${\displaystyle 1}$ dans ${\displaystyle \ell ^{1}}$, ${\displaystyle \left|\sum x_{k}y_{k}\right|\leq \sum (1-2^{-k})|y_{k}|<\sum |y_{k}|\leq 1=\|x\|_{\infty }.}$
• Si ${\displaystyle A\in \Sigma }$ est de mesure infinie mais ne contient aucun ${\displaystyle B\in \Sigma }$ de mesure finie non-nulle (l'exemple le plus simple étant celui où le seul ${\displaystyle B\in \Sigma }$ qui soit strictement inclus dans ${\displaystyle A}$ est ∅) et si ${\displaystyle f}$ est la fonction indicatrice de ${\displaystyle A}$, alors la borne supérieure associée est nulle, tandis que ${\displaystyle ||f||_{\infty }=1}$.

• L’inégalité de Hölder fournit immédiatement une relation importante entre les espaces L^p associés à une mesure finie de masse totale M :${\displaystyle 0<r\leq q\leq +\infty \Rightarrow \mathrm {L} ^{r}\supset \mathrm {L} ^{q}{\text{ et }}\forall g\in \mathrm {L} ^{q},\|g\|_{r}\leq M^{{\frac {1}{r}}-{\frac {1}{q}}}\|g\|_{q}.}$(Cette propriété peut également se déduire directement de l'inégalité de Jensen.)
• Elle intervient aussi comme argument permettant de montrer l’inégalité de Minkowski, qui est l'inégalité triangulaire pour la norme de L^p si p ≥ 1.
• Le cas extrémal permet d’établir que le dual topologique de L^p est L^q (avec 1/p + 1/q = 1) si 1 < p < +∞^[5], et aussi si p = 1 quand la mesure est σ-finie.

L’inégalité de Hölder avec 1/p + 1/q = 1/r se généralise immédiatement à n fonctions, par récurrence :

Soient 0 < r, p₁, …, p_n ≤ +∞ tels que

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{p_{k}}}={\frac {1}{r}}}$

et n fonctions f_k ∈ L^p_k(S). Alors, le produit des f_k appartient à ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{r}(S)}$ et

${\displaystyle \left\|\prod _{k=1}^{n}f_{k}\right\|_{r}\leq \prod _{k=1}^{n}\|f_{k}\|_{p_{k}}.}$

De plus, lorsque tous les ${\displaystyle p_{k}}$ sont finis, il y a égalité si et seulement si les |f_k|^p_k sont colinéaires p.p.

• Haïm Brezis, Analyse fonctionnelle : théorie et applications [détail des éditions]
• Walter Rudin, Analyse réelle et complexe [détail des éditions]

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