Intégrale d'Euler

En mathématiques, on désigne par intégrales d'Euler ou intégrales eulériennes deux types d'intégrales^[1]:

1. L'intégrale d'Euler de première espèce aussi appelée fonction bêta :
   ${\displaystyle \mathrm {\mathrm {B} } (x,y)=\int _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,\mathrm {d} t={\frac {\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}}$
2. L'intégrale d'Euler de seconde espèce aussi appelée fonction gamma^[2]:
   ${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}\,\mathrm {e} ^{-t}\,\mathrm {d} t}$

Pour ${\displaystyle m}$ et ${\displaystyle n}$ entiers strictement positifs :

${\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!\,}$

${\displaystyle \mathrm {\mathrm {B} } (n,m)={(n-1)!(m-1)! \over (n+m-1)!}={n+m \over nm{n+m \choose n}}}$

L'intégrale d'Euler peut aussi désigner l'intégrale réelle^[3]

${\displaystyle I(a)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\ln(a\sin(x))\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\ln(a\cos(x))\,\mathrm {d} x={\frac {\pi }{2}}\ln \left({\frac {a}{2}}\right).}$

Cette intégrale est liée aux fonctions de Clausen^[4].

Le nom d'intégrale eulérienne aurait été donné par Legendre à la fonction bêta, qu'il a étudiée avec Euler ; c'est ce dernier qui aurait établi la dernière égalité dans la définition donnée supra^[5].

Gaston Gohierre de Longchamps parle d'« intégrales eulériennes de deuxième espèce » pour la fonction gamma incomplète, dont il étudie le développement en série entière pour en tirer des formules de calcul de π par somme de séries entières^[6].

Gelfand, Kapranov et Zelevinsky ont étendu la définition d'une intégrale d'Euler classique, qu'ils définissent comme toute intégrale de la forme :

${\displaystyle \int _{\sigma }t^{\alpha }(1-t)^{\beta }(1-tz)^{\gamma }\mathrm {d} t=\mathrm {B} (\alpha +1,\beta -1)\,_{2}F_{1}(-\gamma ,\alpha +1,\alpha +\beta +1;z)}$

où B désigne la fonction beta et ₂F₁ est la fonction hypergéométrique de Gauss^[7].

par les intégrales d'Euler généralisées^[8]

${\displaystyle \int _{\Gamma }{\frac {x_{1}^{n_{1}}\cdots x_{k}^{n_{k}}}{f_{1}\cdots f_{\ell }}}{\frac {\mathrm {d} x_{1}}{x_{1}}}\land \cdots \land {\frac {\mathrm {d} x_{k}}{x_{k}}}}$

où les f_i désignent des polynômes de Laurent en k variables complexes x₁, ... x_k.

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