En analyse mathématique , les intégrales de Cauchy-Frullani , portant les noms d'Augustin Cauchy et de Giuliano Frullani sont des intégrales impropres de la forme
∫
0
∞
f
(
a
x
)
−
f
(
b
x
)
x
d
x
(
a
,
b
>
0
)
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {f(ax)-f(bx)}{x}}\,\mathrm {d} x\quad (a,b>0)}
Si f est localement intégrable sur l'intervalle ouvert
]
0
,
+
∞
[
{\displaystyle \left]0,+\infty \right[}
limite finie aux deux bornes, alors l'intégrale converge et
∫
0
∞
f
(
a
x
)
−
f
(
b
x
)
x
d
x
=
(
f
(
∞
)
−
f
(
0
)
)
ln
a
b
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {f(ax)-f(bx)}{x}}\,\mathrm {d} x=(f(\infty )-f(0))\ln {\frac {a}{b}}}
Démonstration
Par changement de variables On pose
0
<
ε
<
η
<
+
∞
{\displaystyle 0<\varepsilon <\eta <+\infty }
I
=
∫
ε
η
f
(
a
x
)
−
f
(
b
x
)
x
d
x
=
∫
a
ε
a
η
f
(
t
)
t
d
t
−
∫
b
ε
b
η
f
(
t
)
t
d
t
=
∫
a
ε
b
ε
f
(
t
)
t
d
t
−
∫
a
η
b
η
f
(
t
)
t
d
t
{\displaystyle I=\int _{\varepsilon }^{\eta }{\frac {f(ax)-f(bx)}{x}}\,\mathrm {d} x=\int _{a\varepsilon }^{a\eta }{\frac {f(t)}{t}}\,\mathrm {d} t-\int _{b\varepsilon }^{b\eta }{\frac {f(t)}{t}}\,\mathrm {d} t=\int _{a\varepsilon }^{b\varepsilon }{\frac {f(t)}{t}}\,\mathrm {d} t-\int _{a\eta }^{b\eta }{\frac {f(t)}{t}}\,\mathrm {d} t}
Donc
I
=
∫
a
ε
b
ε
f
(
t
)
−
f
(
0
)
t
d
t
+
f
(
0
)
ln
b
a
−
∫
a
η
b
η
f
(
t
)
−
f
(
∞
)
t
d
t
−
f
(
∞
)
ln
b
a
{\displaystyle I=\int _{a\varepsilon }^{b\varepsilon }{\frac {f(t)-f(0)}{t}}\,\mathrm {d} t+f(0)\ln {\frac {b}{a}}-\int _{a\eta }^{b\eta }{\frac {f(t)-f(\infty )}{t}}\,\mathrm {d} t-f(\infty )\ln {\frac {b}{a}}}
Donc
∫
ε
η
f
(
a
x
)
−
f
(
b
x
)
x
d
x
−
(
f
(
∞
)
−
f
(
0
)
)
ln
a
b
=
∫
a
ε
b
ε
f
(
t
)
−
f
(
0
)
t
d
t
−
∫
a
η
b
η
f
(
t
)
−
f
(
∞
)
t
d
t
{\displaystyle \int _{\varepsilon }^{\eta }{\frac {f(ax)-f(bx)}{x}}\,\mathrm {d} x-(f(\infty )-f(0))\ln {\frac {a}{b}}=\int _{a\varepsilon }^{b\varepsilon }{\frac {f(t)-f(0)}{t}}\,\mathrm {d} t-\int _{a\eta }^{b\eta }{\frac {f(t)-f(\infty )}{t}}\,\mathrm {d} t}
ε
{\displaystyle \varepsilon }
η
{\displaystyle \eta }
Par la « technique de Feynman » On considère :
I
(
a
,
b
)
=
∫
0
∞
f
(
a
x
)
−
f
(
b
x
)
x
d
x
{\displaystyle I(a,b)=\int _{0}^{\infty }{\frac {f(ax)-f(bx)}{x}}\,\mathrm {d} x}
Alors, en dérivant sous le signe intégrale :
∂
∂
a
I
(
a
,
b
)
=
∫
0
∞
∂
∂
a
f
(
a
x
)
−
f
(
b
x
)
x
d
x
=
∫
0
∞
x
f
′
(
a
x
)
x
d
x
=
∫
0
∞
f
′
(
a
x
)
d
x
=
[
1
a
f
(
a
x
)
]
x
=
0
x
=
∞
=
(
f
(
∞
)
−
f
(
0
)
)
1
a
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial a}}I(a,b)=\int _{0}^{\infty }{\frac {\partial }{\partial a}}{\frac {f(ax)-f(bx)}{x}}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{\infty }{\frac {xf'(ax)}{x}}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{\infty }f'(ax)\,\mathrm {d} x=\left[{\frac {1}{a}}f(ax)\right]_{x=0}^{x=\infty }=\left(f(\infty )-f(0)\right){\frac {1}{a}}}
qu'on réintègre
I
(
a
,
b
)
=
∫
(
f
(
∞
)
−
f
(
0
)
)
1
a
d
a
=
(
f
(
∞
)
−
f
(
0
)
)
ln
(
a
)
+
C
(
b
)
{\displaystyle I(a,b)=\int \left(f(\infty )-f(0)\right){\frac {1}{a}}\,\mathrm {d} a=\left(f(\infty )-f(0)\right)\ln(a)+C(b)}
Par symétrie de I , on a
C
(
b
)
=
(
f
(
∞
)
−
f
(
0
)
)
(
−
ln
b
)
{\displaystyle C(b)=\left(f(\infty )-f(0)\right)(-\ln b)}
ce qui permet de conclure.
Historique
La formule ci-dessus se trouve sans démonstration dans une lettre de Frullani datée de 1821, et a été démontrée par Cauchy en 1823[ 1] , [ 2] , [ 3]
Applications
Calcul intégral En prenant
f
(
x
)
=
e
−
x
{\displaystyle f(x)=\mathrm {e} ^{-x}}
∫
0
∞
e
−
a
x
−
e
−
b
x
x
d
x
=
ln
b
a
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\mathrm {e} ^{-ax}-\mathrm {e} ^{-bx}}{x}}\mathrm {d} x=\ln {\frac {b}{a}}}
∫
0
1
t
a
−
1
−
t
b
−
1
ln
t
d
t
=
ln
a
b
{\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {t^{a-1}-t^{b-1}}{\ln t}}\mathrm {d} t=\ln {\frac {a}{b}}}
Généralisation Si pour tout T > 0
∫
0
T
f
(
x
)
x
d
t
{\displaystyle \int _{0}^{T}{\frac {f(x)}{x}}\mathrm {d} t}
valeur moyenne de
f
{\displaystyle f}
[
0
,
+
∞
[
{\displaystyle [0,+\infty [}
M
(
f
)
=
lim
T
→
+
∞
1
T
∫
0
T
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle M(f)=\lim _{T\rightarrow +\infty }{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}f(x)\mathrm {d} x}
[ 4]
∫
0
∞
f
(
a
x
)
−
f
(
b
x
)
x
d
x
=
M
(
f
)
ln
a
b
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {f(ax)-f(bx)}{x}}\mathrm {d} x=M(f)\ln {\frac {a}{b}}}
(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Frullani integral » (voir la liste des auteurs ) .(en) Ralph Palmer Agnew , « Mean values and Frullani integrals », Proc. A.M.S. vol. 2, 1951 , p. 237-241 (lire en ligne ) (en) Juan Arias-de-Reyna, « On the Theorem of Frullani », Proc. A.M.S. vol. 109, no 1, 1990 , p. 165-175 (lire en ligne ) (en) Bruce C. Berndt , « Ramanujan's Quarterly Reports », Bulletin of the London Mathematical Society vol. 16, no 5, 1984 , p. 295-357 (lire en ligne ) p. 313-318 .(en) G. Boros et V. Moll, Irresistible Integrals , 2004 (lire en ligne ) , p. 98Augustin-Louis Cauchy , « Mémoire sur l'intégration des équations linéaires aux différentielles partielles et à coefficients constants » , dans Journal de l'École polytechnique , 1823 (lire en ligne ) , p. 512-592 p. 576 (Œuvres complètes , série 2, tome 1, p. 275-357 : p. 339 ).Augustin-Louis Cauchy, « Sur la transformation des fonctions d'une seule variable en intégrales doubles » , dans Exercices de mathématiques , 1827 (lire en ligne ) , p. 112-124 p. 122 (Œuvres complètes , série 2, tome 7, p. 146-159 : p. 157 ).(en) A. M. Ostrowski , « On some generalizations of th Cauchy-Frullani integral », PNAS vol. 35, 1949 , p. 612-616 (lire en ligne )
Voir aussi
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![{\displaystyle \left]0,+\infty \right[}](./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/010ebc9c2d0f3af5ce1c0594c44823f107968561.svg)
![{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial a}}I(a,b)=\int _{0}^{\infty }{\frac {\partial }{\partial a}}{\frac {f(ax)-f(bx)}{x}}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{\infty }{\frac {xf'(ax)}{x}}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{\infty }f'(ax)\,\mathrm {d} x=\left[{\frac {1}{a}}f(ax)\right]_{x=0}^{x=\infty }=\left(f(\infty )-f(0)\right){\frac {1}{a}}}](./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9624bf2a4acd1f507e4e46365cac27f66f0d606f.svg)
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