Lemme fondamental (programme de Langlands)

En mathématiques, et plus précisément en théorie des formes automorphes, le lemme fondamental relie les intégrales orbitales d'un groupe réductif sur un corps local aux intégrales orbitales stables de ses groupes endoscopiques. Ce lemme a été conjecturé par Robert Langlands en 1983, lors de l'élaboration du programme de Langlands. Le lemme fondamental a été prouvé en 2004 par Gérard Laumon et Ngô Bảo Châu dans le cas des groupes unitaires puis en 2008 par Ngô pour tout groupe réductif, en s'appuyant sur une série de réductions importantes apportées principalement par Jean-Loup Waldspurger. Le magazine Time a placé la démonstration de Ngô dans la liste du « Top 10 des découvertes scientifiques de 2009 »^[1] et celle-ci lui a valu la médaille Fields en 2010.

Langlands a décrit une stratégie pour prouver les conjectures de Langlands locales et globales en utilisant la formule des traces d'Arthur-Selberg (en), mais pour que cette approche fonctionne, les aspects géométriques de la formule des traces pour différents groupes doivent être liés d'une manière particulière. Cette relation prend la forme d'identités entre intégrales orbitales sur les groupes réductifs ${\displaystyle G}$ et ${\displaystyle H}$ sur un corps local non archimédien ${\displaystyle F}$, où le groupe ${\displaystyle H}$, appelé groupe endoscopique de ${\displaystyle G}$, est construit à partir de ${\displaystyle G}$ et de quelques données supplémentaires.

En 1979, Jean-Pierre Labesse (de) et Robert Langlands considèrent les premiers le cas ${\displaystyle G={\rm {SL}}_{2}}$ démontrent le lemme fondamental dans ce cas^[2]. Langlands et Diana Shelstad ont ensuite développé le cadre général de la théorie du transfert endoscopique, obtenu certains résultats^[3] et Langlands a conjecturé le lemme fondamental dans le cas général^[4]. Cependant, au cours des deux décennies suivantes, seuls des progrès limités ont été réalisés dans la preuve du lemme fondamental. Harris l'a qualifié de « goulot d'étranglement limitant les progrès sur une multitude de questions arithmétiques ». Langlands lui-même, écrivant sur les origines de l'endoscopie, écrit :

« [...] ce n'est pas le lemme fondamental en tant que tel qui est critique pour la théorie analytique des formes automorphes et pour l'arithmétique des variétés de Shimura ; c'est la formule des traces stable, la réduction de la formule des traces à la formule des traces stable pour un groupe et ses groupes endoscopiques, et la stabilisation de la formule de Grothendieck-Lefschetz (en). Aucun de ces travaux n'est possible sans le lemme fondamental et son absence a rendu les progrès presque impossibles pendant plus de vingt ans. »^[5]

Le lemme fondamental stipule qu'une intégrale orbitale ${\displaystyle O}$ pour un groupe ${\displaystyle G}$ est égale à une intégrale orbitale stable ${\displaystyle SO}$ pour un groupe endoscopique ${\displaystyle H}$, à un facteur de transfert ${\displaystyle \Delta }$ près^[6] :

${\displaystyle SO_{\gamma _{H}}(1_{K_{H}})=\Delta (\gamma _{H},\gamma _{G})O_{\gamma _{G}}^{\kappa }(1_{K_{G}})}$

où

• ${\displaystyle F}$ est un corps local,
• ${\displaystyle G}$ est un groupe non ramifié défini sur ${\displaystyle F}$, autrement dit un groupe réductif quasi-déployé défini sur ${\displaystyle F}$ qui se déploie sur une extension finie non ramifiée de ${\displaystyle F,}$
• ${\displaystyle \kappa }$ est un caractère du groupe des classes de conjugaison dans la classe de conjugaison stable de ${\displaystyle \gamma _{G}\,,}$
• ${\displaystyle H}$ est un groupe endoscopique non ramifié de ${\displaystyle G}$ associé à ${\displaystyle \kappa ,}$
• ${\displaystyle K_{G}}$ et ${\displaystyle K_{H}}$ sont des sous-groupes compacts maximaux hyperspéciaux de ${\displaystyle G}$ et ${\displaystyle H}$, ce qui signifie que ce sont des sous-groupes de points à coefficients dans l'anneau des entiers de ${\displaystyle F,}$
• ${\displaystyle 1_{K_{G}}}$et ${\displaystyle 1_{K_{H}}}$sont les fonctions caractéristiques respectives de ${\displaystyle K_{G}}$ et ${\displaystyle K_{H}\,,}$
• ${\displaystyle \gamma _{H}}$ et ${\displaystyle \gamma _{G}}$ sont des éléments de ${\displaystyle H}$ et ${\displaystyle G}$ représentant des classes de conjugaison stables, telles que la classe de conjugaison stable de ${\displaystyle \gamma _{G}}$ est le transfert de la classe de conjugaison stable de ${\displaystyle \gamma _{H}}$.
• ${\displaystyle \Delta (\gamma _{H},\gamma _{G})}$ est un facteur de transfert, une certaine expression élémentaire dépendant de ${\displaystyle \gamma _{H}}$ et ${\displaystyle \gamma _{G}\,.}$

En 1979, Labesse et Langlands démontrent le lemma fondamental pour le groupe ${\displaystyle SL_{2}}$. La même année, Diana Shelstad (en) le prouve pour des groupes réductifs sur les nombres réels^[3]. Avec Langlands, elle notera plus tard que la validité de ce cas particulier était une motivation essentielle pour formuler la conjecture générale^[7].

Dans les années qui suivent, la conjecture est vérifiée dans le cas non archimédien pour certains groupes de petite dimension. Robert Kottwitz traite en 1981 le cas de ${\displaystyle SL_{3}}$^[8]. Puis Don Blasius (en) et Jonathan Rogawski (de) vérifient en 1992 le cas des groupes unitaires en dimension 3^[9]. Enfin, en 1997, Thomas Hales le vérifie pour le groupe ${\displaystyle \mathrm {Sp} _{4}}$^[10], suivi en 2009 par Rainer Weissauer (de) pour le groupe ${\displaystyle \mathrm {GSp} _{4}}$^[11].

En parallèle de ces cas particuliers, un certain nombre de réductions de la conjecture ont été démontrées, principalement par Jean-Loup Waldspurger. Celui-ci montre en particulier en 1997 qu'il suffit de démontrer une variante de l'énoncé où les intégrales orbitales ne portent plus sur des groupes mais sur leurs algèbres de Lie^[12]. D'autre part, il démontre aussi en 2006 que le lemme fondamental pour les corps ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}((t))}$ de séries de Laurent sur un corps fini implique le même énoncé pour les corps p-adiques de caractéristique résiduelle suffisamment grande^[13]. Le même énoncé a été établi en parallèle par Raf Cluckers, François Loeser et Thomas Hales, en utilisant le principe de transfert plus général issu de l'intégration motivique. Hales ayant démontré en 1995 que le lemme fondamental en caractéristique résiduelle impliquait le lemme fondamental en toute caractéristique^[14], il suffisait donc de démontrer le lemme fondamental pour les algèbres de Lie sur ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}((t))}$ avec ${\displaystyle q}$ une puissance d'un nombre premier suffisamment grand.

En 1988, George Lusztig et David Kazhdan introduisent la notion de fibre de Springer affine sur ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}((t))}$ associée à un groupe réductif^[15]. Au moyen des conjectures de Weil, ils parviennent à interpréter les intégrales orbitales stables apparaissant dans la réduction précédente du lemme fondamentale comme un comptage de points rationnels sur ces fibres. En 2004, Ngô introduit la fibration de Hitchin, qui est un analogue géométrique abstrait du système de Hitchin en géométrie algébrique complexe^[16]. La même année, Laumon et Ngô utilisent celle-ci pour démontrer le lemme fondamental pour les groupes unitaires^[17]. Enfin, en 2008, Ngô obtient une démonstration complète du lemme fondamental^[18], qui repose essentiellement sur l'étude de la fibration de Hitchin sur un ouvert de la base, qualifié d'ouvert anisotrope, ainsi que sur des méthodes cohomologiques qui emploient principalement les faisceaux pervers.

Dès les années 1990, Langlands et ses disciples ressentent la nécessité d'un énoncé plus général^[19]. En effet, l'objectif initial était de stabiliser la formule des traces d'Arthur-Selberg. Cependant, il est nécessaire pour cela de faire apparaître une version "tordue" de cette formule des traces, et de démontrer aussi le lemme fondamental dans ce cas. Waldspurger^[20] a réduit ce lemme fondamental tordu au lemme fondamental ordinaire et à une conjecture supplémentaire, le lemme fondamental non standard, qui a été démontré par Ngô en même tant que le cas ordinaire^[18].

D'autre part, pour stabiliser complètement la formule des traces, James Arthur a eu besoin d'introduire des intégrales orbitales pondérées et de formuler une conjecture analogue au lemme fondamental pour celles-ci, appelée lemme fondamental pondéré^[21]. Comme dans le cas ordinaire, cette conjecture présente une variante tordue, qui a été réduite par Waldspurger au lemme fondamental pondéré et à un lemme fondamental pondéré non standard^[22]. Le lemme fondamental pondéré a été établi en 2012 par Chaudouard et Laumon dans le cas des groupes réductifs déployés^[23],[24] ; le cas général reste ouvert. La preuve de Chaudouard et Laumon repose sur les mêmes outils que celle de Ngô, et consiste à tronquer la fibration de Hitchin pour qu'elle conserve ses propriétés géométriques sur un ouvert plus grand que l'ouvert anisotrope.

Il existe également une version relative de la formule des traces. L'analogue du lemme fondamental dans ce cas, appelé lemme fondamental de Jacquet-Rallis, a été démontré par Yun en 2011^[25].

D'autres approches au lemme fondamental sont apparues depuis la preuve de Ngô. En particulier, en 2019, Michael Groechenig, Dimitri Wyss et Paul Ziegler démontrent le lemme fondamental par une approche semblable à celle de Ngô, mais en employant des méthodes d'intégration ${\displaystyle p}$-adique à la place des faisceaux pervers^[26].

La principale application directe du lemme fondamental et de ses variantes est la stabilisation de la formule des traces, réalisée dans le cas tordu par Colette Moeglin et Jean-Loup Waldspurger^[27]. La formule des traces stables ainsi obtenue a permis à Arthur d'établir la classification endoscopique des représentations des groupes orthogonaux et symplectiques , qui a été ensuite généralisée aux groupes unitaires par Mok. Cette classification a à son tour eu de très nombreuses applications arithmétiques, par exemple à certains cas de la correspondance de Langlands globale, à la conjecture de Belinson-Bloch-Kato ou à la conjecture de Gan-Gross-Prasad. Un cas particulier du lemme fondamental joue également un rôle dans la preuve par Wiles du dernier théorème de Fermat^[7].

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Fundamental lemma (Langlands program) » (voir la liste des auteurs).

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• (en) Zhiwei Yun, « The fundamental lemma of Jacquet and Rallis. Appendix by Julia Gordon », Duke Mathematical Journal, vol. 156, n^o 2,‎ 2011, p. 167-227

• Conférence de Gérard Laumon sur le lemme fondamental pour les groupes unitaires

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