Livre I des Éléments d'Euclide

Le livre I des Éléments d'Euclide pose certains des fondements pour la suite de l'ouvrage : il débute par des définitions, comme certains des autres livres des Éléments, mais c'est le seul à comporter des demandes, ou postulats, et des notions communes, ou axiomes. Il enchaîne 48 propositions de géométrie plane, dont certaines constructions géométriques, mais aussi les cas d'égalité des triangles, ou la somme des angles d'un triangle, et se termine par le théorème de Pythagore (ainsi qu'on le nomme aujourd'hui) et sa réciproque.

Le livre I est l'objet d'un commentaire détaillé écrit au V^e siècle par Proclus, qui nous est parvenu quasi intégralement.

Dans l'édition Heiberg-Menge (édition critique de référence depuis la fin du XIX^e siècle), le livre I des Éléments contient :

• 23 définitions (sur les 130 qui apparaissent dans les Éléments)^[1] ;
• 5 demandes, ou postulats (suivant la traduction latine postulata), certains manuscrits en ajoutent une 6^e[1] ;
• 9 notions communes, ou axiomes, dont 4 contestées^[1],[2] ;
• 48 propositions.

Si des définitions apparaissent dans plusieurs des livres suivant, les demandes et notions communes, n'apparaissent qu'au livre I^[1].

Y sont définis le point, la droite (Euclide appelle « ligne droite limitée », ou simplement « ligne droite » ce que nous appellerions segment de droite, mais les droites d'Euclide peuvent aussi se prolonger, c'est la demande 2, et ce indéfiniment, et donc être considérées comment potentiellement infinies^[3]), les angles, le cercle, le triangle équilatéral, le triangle rectangle, le carré, les parallèles… La plupart sont détaillées ci-dessous^[a].

1. Un point est ce dont il n'y a aucune partie^[4].
2. Une ligne est une longueur sans largeur.
3. Les limites d’une ligne sont des points^[5].
4. Une ligne droite est celle qui est également placée entre ses points^[6].
5. Une surface est ce qui a seulement longueur et largeur.
6. Les limites d’une surface sont des lignes^[7].
7. Une surface plane est celle qui est également placée entre ses droites^[6].
8. Un angle plan est l'inclinaison mutuelle de deux lignes qui se touchent dans un plan, et qui ne sont point placées dans la même direction.
9. Lorsque les lignes, qui comprennent ledit angle sont des droites, l'angle se nomme rectiligne.
10. Lorsqu'une droite tombant sur une droite fait deux angles de suite égaux entre eux, chacun des angles égaux est droit ; et la droite placée au-dessus est dite perpendiculaire à celle sur laquelle elle est placée.
11. L'angle obtus est celui qui est plus grand qu'un droit.
12. L'angle aigu est celui qui est plus petit qu'un droit.
13. Une frontière est ce qui est limite de quelque chose^[8].
14. Une figure est ce qui est compris par une seule ou par plusieurs frontières^[9],[8].
15. Un cercle est une figure plane, comprise par une seule ligne qu'on nomme circonférence, toutes les droites menées à la circonférence d'un des points placé dans cette figure étant égales entre elles.
16. Ce point se nomme le centre du cercle.
17. Un diamètre du cercle est une droite menée par le centre et terminée de part et d'autre par la circonférence du cercle : un diamètre partage le cercle en deux parties égales^[10].
18. Un demi-cercle est la figure comprise par le diamètre, et la portion de la circonférence sous-tendue par le diamètre^[11] ; le centre du demi-cercle est le même que celui du cercle^[12],[b].
19. Les figures rectilignes sont les figures contenues par des droites ; trilatères celles qui sont contenues par trois droites ; quadrilatères par quatre ; multilatères par plus de quatre^[12],[c].
20. Parmi les figures trilatères, le triangle équilatéral est celle qui a ses trois côtés égaux ; le triangle isocèle, celle qui a seulement deux côtés égaux ; le triangle scalène celle qui a ses trois côtés inégaux^[13].
21. De plus parmi les figures trilatères, le triangle rectangle est celle qui a un angle droit ; le triangle obtusangle, celle qui a un angle obtus ; le triangle acutangle celle qui a 3 angles aigus^[14].
22. Parmi les figures quadrilatères, le carré est celle qui est équilatérale et rectangulaire ; […]^[15],[d].
23. Des droites parallèles sont celles qui étant dans le même plan, et indéfiniment prolongées de part et d'autre, ne se rencontrent pas, ni d'un côté ni de l'autre^[16],[e].

La définition 22 introduit d'autres espèces de quadrilatères, toutes disjointes entre elles et du carré^[17],[18], avec un vocabulaire peu ou pas utilisé dans la suite^[19] qui n'a pas été reporté ici. Comme à ce stade les droites parallèles n'ont pas été définies, Euclide ne définit pas encore le parallélogramme, terme qui apparait pour la première fois à la proposition I.34 et qui, lui, est fréquemment utilisé dans les Éléments^[19],[20], mais sans le définir explicitement, probablement parce qu'il se comprend de lui-même : « quadrilatère formé de lignes droites parallèles »^[21]. Le terme regroupe toutes les espèces introduites à la définition 22 (carré, rectangle non carré, losange, …), hormis le trapèze qui, chez Euclide, est un quadrilatère qui n'est pas un parallélogramme (caractérisation a posteriori !), ce qui est plus général que notre trapèze actuel^[19].

L'édition Heiberg-Menge^[22] donne les 5 demandes, ou postulats (selon la traduction latine du terme grec), que l'on trouve dans la majorité des manuscrits^[1]. Certains en ajoutent une 6^e[1], qui est la 9^e notion commune de l'édition Heiberg-Menge, très certainement interpolée^[23],[f].

1. Qu'il soit demandé de mener une ligne droite de tout point à tout point^[24].
2. Et de prolonger continûment en ligne droite une ligne droite limitée^[25].
3. Et de décrire un cercle à partir de tout centre et au moyen de tout intervalle^[26].
4. Et que tous les angles droits soient égaux entre eux^[27].
5. Et que, si une droite, tombant sur deux droites, fait les angles intérieurs et du même côté plus petits que deux droits, les deux droites, indéfiniment prolongées, se rencontreront du côté où les angles sont plus petits que deux droits^[28].

• La 1^re demande n'explicite pas l'unicité de la droite menant d'un point à un point (c'est-à-dire pour nous un segment) mais celle-ci est utilisée ensuite^[29].
• La 2^de demande n'explicite pas plus l'unicité du prolongement à l'infini, alors que cette unicité est nécessaire pour la suite de l'exposé^[30]. Le problème avait été remarqué dès l'antiquité^[31].
• À la 3^e demande, « intervalle » se comprend comme séparant deux extrémités. Pratiquement Euclide « trace » un cercle de centre A passant par B (A et B extrémités de l'intervalle) quand A et B sont déjà sur la figure^[32].
• La 5^e demande, ou cinquième postulat, est la plus célèbre. On parle à son propos de postulat des parallèles^[33], de postulat d'Euclide, d'axiome d'Euclide, de postulatum, etc. Il possède de nombreux équivalents dont l'axiome des parallèles dit parfois axiome de Playfair^[g], qui énonce l'unicité d'une droite parallèle à une droite D donnée, passant par un point P extérieur à cette droite D, dans le plan contenant D et P.^[34]. Proclus signale déjà l'unicité de la parallèle dans Les commentaires sur le premier livre des Éléments d'Euclide à propos de la proposition I.31^[35], proposition I.31 qui elle-même donne l'existence d'une droite parallèle à D passant par P sans utiliser le cinquième postulat^[36].

La première édition imprimée en 1533 du texte grec des Éléments, l'édition princeps de Simon Grynée à Bâle, ne donne que les 3 premiers postulats ; les postulats 4 et 5 sont déplacés parmi les notions communes^[37]. Grynée s'est appuyé sur deux manuscrits, dont principalement un manuscrit du XV^e siècle conservé à la Biblioteca Marciana de Venise qui est le seul des manuscrits anciens connus à présenter cette particularité^[h],[37]. Il s'agit en réalité d'une modification du manuscrit en question, réalisée également au XV^e siècle, par remplacement d'un feuillet dont l'auteur, Georges Gémiste Pléthon, a été identifié^[38],[i].

Cette édition est la source principale des éditions ultérieures du texte grec jusqu'à et y compris celle de David Gregory en 1703^[39]. Aussi la modification se retrouve-t-elle dans un certain nombre de traductions et adaptations des Éléments jusqu'au XIX^e siècle^[40].

La liste des notions communes, ou axiomes, varie selon les manuscrits, et ce dès l'Antiquité^[41]. Dans ses Commentaires, Proclus en retient 5, et ce sont celles distinguées par l'édition Heiberg^[42].

1. Les choses égales à une même chose sont aussi égales entre elles^[43].
2. Et si, à des choses égales, des choses égales sont ajoutées, les touts sont égaux^[43].
3. Et si, à partir de choses égales, des choses égales sont retranchées, les restes sont égaux^[43].

Toutes énoncent des propriétés de l'égalité ou de l'inégalité, et c'est d'ailleurs aussi le cas de 3 des 4 notions communes non retenues par Proclus, la dernière, de nature géométrique, étant quasi-certainement interpolée^[23],[f].

Ces propositions traitent des points suivant :

• Constructions élémentaires. Les trois premières propositions décrivent quelques constructions élémentaires : construction d'un triangle équilatéral de côté donné (prop.1), construction d'un cercle de centre donné et de rayon donné (prop.2), retrancher d'un segment CD donné un segment AB donné (prop.3).
• Les cas d'égalité des triangles sont traités dans les prop.4 (premier cas d'égalité des triangles : deux côtés et l'angle compris entre ces deux côtés, égaux dans les deux triangles), prop.7 et 8 (deuxième cas d'égalité des triangles : trois côtés de même longueur dans les deux triangles), prop.26 (troisième cas d'égalité des triangles : deux angles et un côté égaux).
• Le triangle isocèle : les prop.5 et 6 montrent qu'un triangle a deux côtés égaux si et seulement s'il a deux angles égaux.
• Constructions diverses. Un certain nombre de propositions exposent comment procéder à la construction d'objets géométrique : la bissectrice d'un angle (prop.9), le milieu d'un segment (prop.10), la perpendiculaire à une droite passant par un point donné, un triangle dont les longueurs des côtés sont données (prop.22), un angle égal à un angle donné (prop.23).
• Les angles. Les propositions 13 à 19 traitent des angles, par exemple : deux angles d'un triangle sont moindres que deux droits (prop.17) ; dans un triangle, un plus grand côté est opposé à un plus grand angle (prop.18) ; deux triangles ayant deux côtés égaux, la base de l'un est plus grand que la base de l'autre si et seulement si l'angle au sommet du premier est plus grand que l'angle au sommet de l'autre (prop.24 et 25).
• Inégalité triangulaire : la prop.20 démontre l'inégalité triangulaire

Ces 26 premières propositions ainsi que les deux suivantes, (qui sont les deux premières à utiliser la notion de parallèles), ne font pas appel au cinquième postulat d'Euclide sur les parallèles^[47]. La proposition 29 est la première à l'utiliser^[47], et toutes les propositions du livre I qui suivent, hormis la proposition 31, dépendent de ce postulat^[49].

• Propriétés des parallèles. Si une droite tombant sur deux droites fait des angles alternes égaux entre eux, ces deux droites seront parallèles (prop.27 et 28), et réciproquement, une droite tombant sur deux parallèles fait les angles alternes égaux entre eux (prop.29). Les droites parallèles à une même droite sont parallèles entre elles (prop.30). La prop.31 expose comment construire une parallèle à une droite donnée passant par un point donné.
• La proposition 31 permet de démontrer la proposition 32, à savoir que la somme des angles d'un triangle est égale à deux droits.
• Propriétés du parallélogramme. Les segments joignant les sommets de deux segments parallèles et de même longueur sont eux-mêmes parallèles et de même longueur (prop.33) ; les côtés et les angles opposés d'un parallélogramme sont égaux entre eux et une diagonale le partage en deux parties égales (prop.34) ; deux parallélogrammes, construits sur des bases de même longueur et entre les mêmes parallèles, ont même aire (prop.35 et 36).
• Propriétés des triangles. Deux triangles de même base ont même aire si et seulement s'ils ont même hauteur (prop.37 à 40). Cette aire est la moitié de celle du parallélogramme correspondant (prop.41).
• Les propositions 42 à 45 expliquent comment construire dans un angle (rectiligne) donné un parallélogramme d'aire égale à celle d'abord d'un triangle donné (propositions 42 et 44), puis plus généralement d'un polygone donné (proposition 45), en le décomposant en triangles. Si l'angle donné est droit, la proposition 45 fournit un rectangle, ce qui est la première étape vers la quadrature d'un aire polygonale quelconque, quadrature qui est achevée à la fin du livre II, proposition II.14^[50].
• Après avoir exposé comment construire un carré sur une droite donnée (proposition 46), Euclide termine le livre I par le théorème dit aujourd'hui Théorème de Pythagore (proposition 47) et sa réciproque (proposition 48) et leurs démonstrations.

La structure déductive du livre I est remarquablement linéaire^[51]. Certaines propositions intercalées dans le cours de l'exposé^[52] ne sont cependant pas utilisées au livre I, comme la proposition 6 qui n'est pas utilisée avant la proposition 4 du livre II^[53], ou la proposition 21 qui n'est pas utilisée avant la proposition 8 du livre III^[54].

Les trois premières demandes correspondent à des constructions élémentaires, celles de la droite et du cercle^[32]. Elles peuvent également être interprétées comme des assertions d'existence de la droite et du cercle^[55]. De même, les constructions données pour certaines propositions particulières, appelées problèmes, assurent l'existence d'autres objets comme le triangle équilatéral (Proposition I.1), le carré (proposition I.46)^[55], la parallèle à une droite donnée passant par un point donné (proposition I.31), etc.

Cependant, Euclide ne donne pas de postulats pour l'existence des points, que ce soit pour l'existence de « suffisamment » de points^[55], comme le fera David Hilbert dans ses Grundlagen der Geometrie^[56], ou de points obtenus par intersection^[55]. Par exemple, Euclide admet tacitement que si la distance des centres de deux cercles est strictement inférieure à la somme des rayons de ceux-ci, alors ces cercles se coupent en deux points^[57].

Parmi ses énoncés premiers, Euclide distingue les demandes, ou postulats, des notions communes, ou axiomes^[1]. Dans ses Commentaires sur le premier livre des Éléments Proclus décrit trois critères pour cette distinction^[58].

• Selon le premier critère, qu'il attribue à Géminus de Rhodes un postulat demande une construction simple, alors qu'un axiome énonce une connaissance immédiate^[58]. C'est le même critère que Proclus utilise pour distinguer parmi les propositions les problèmes (demandant une construction), des théorèmes (qui énoncent une connaissance)^[58]. Selon ce point de vue seuls les trois premiers postulats sont réellement des postulats, comme le remarque Proclus^[58]. Mais Proclus ne suit pas Géminus^[58]. C'est très probablement ce critère qui a conduit un manuscrit et certaines éditions imprimées anciennes des Éléments à placer les postulats 4 et 5 parmi les axiomes^[j].
• Selon le second critère, les postulats sont particuliers à la géométrie et les axiomes « communs à toutes les sciences de la quantité » ^[58]. En particulier ce critère écarte l'axiome 9^[f] des axiomes et conduirait à le ranger parmi les postulats ce que font certains manuscrits^[58].
• Le troisième critère, d'origine aristotélicienne, distingue des axiomes par nature indémontrables, évidents et immédiats, des postulats qui pourraient être démontrables^[59].

Les constructions de la droite et du cercle sont les seules constructions qui apparaissent dans les demandes. Ceci est parfois interprété de façon « instrumentale » : seules sont permises les constructions à la règle (non graduée) et au compas, ce qui est bien le cas pour les 4 premiers livres des Éléments, même si ces instruments ne sont pas mentionnés^[60]. Cette limitation ne vaut que pour les Éléments^[61]. Les mathématiciens grecs s'autorisaient d'autres moyens que ceux fournis par la règle et le compas, aussi bien avant qu'après Euclide ^[62].

Par ailleurs, dans le cadre de cette interprétation, le postulat 3 impose un usage a priori restreint du compas, comme cela apparait aux propositions 2 et 3^[60].

En effet pour la proposition 2 : « Placer en un point donné, une droite égale à une droite donnée. », Euclide utilise la construction du triangle équilatéral de la proposition 1^[63]. En particulier il ne construit pas directement un cercle de centre un point donné A et de rayon une droite donnée BC (ce que permettrait le compas), car selon Proclus dans son commentaire du livre I : ce n'est pas la droite BC qu'on reporterait en A mais une droite égale à BC et on supposerait alors ce qu'il faut démontrer^[64].

De fait, à chaque fois qu'Euclide utilise le postulat 3 au livre I, le cercle est donné par son centre et par un « intervalle » dont le centre est une des extrémités^[64]. Cette restriction se traduit directement en termes de construction à la règle et au compas^[64], Auguste De Morgan en a donné l'image suivante : le compas se referme dès que ses deux pointes quittent la figure^[64],[65].

La proposition 2 montre que la restriction a priori sur l'usage du compas induite par le postulat 3 n'en est pas une, et permet les mêmes constructions que l'utilisation classique de la règle et du compas^[60].

• Euclide, Bernard Vitrac (traduction, notes et commentaires) et Maurice Caveing (Introduction générale), Les Éléments, vol. 1 : Introduction générale, Livres I à IV, Paris, PUF, 1990 (ISBN 2-13-043240-9) ;
• (grc + la) Johan Ludvig Heiberg (éd.) et Heinrich Menge (éd.), Euclidis Opera omnia, vol. 1, Leipzig, Teubner, 1883 (lire en ligne) ;
• Euclide (trad. François Peyrard), Les œuvres d'Euclide, Paris, 1819, nouveau tirage ave une préface de Jean Itard, éd. Albert Blanchard 1993 ;
• (grc + la + fr) Euclide et François Peyrard (Préface et traductions), Les œuvres d'Euclide, en grec, en latin et en français : d'après un manuscrit très-ancien qui était resté inconnu jusqu'à nos jours, vol. 1, Paris, M. Patris, 1814 (lire en ligne),le volume 1 donne une édition trilingue des Éléments, livres I à VII, la traduction en français a été rééditée en 1819 avec celle des autres livres (voir ouvrage précédent).
• (en) Euclide et Thomas L. Heath (Introduction, traduction et commentaires), The Thirteen Books of Euclid's Elements : Introduction and Books I, II, vol. 1, Cambridge University Press, 1926, 2^e éd. (1^re éd. 1908) (lire en ligne).

• Euclide et François Peyrard (traduction, notes), Les élémens de géométrie d'Euclide : traduits littéralement et suivis d'un Traité du cercle, du cylindre, du cône et de la sphère, de la mesure des surfaces et des solides, F. Louis (Paris), 1804 (lire en ligne), numérisé au format texte sur le site L'antiquité grecque et latine du moyen âge de Philippe Remacle et al. ; traduction des livres I, II, III, IV, VI, XI et XII ; Peyrard ne disposait pas encore du manuscrit 190 de la bibliothèque du Vatican.
• Euclide et Denis Henrion (traduction, commentaires), Les quinze livres des éléments géométriques d'Euclide, 1632 (lire en ligne).

• (grc + la) Proclus de Lycie et Gottfried Friedlein (édition du texte, préface), Procli Diadochi in primum Euclidis Elementorum librum commentarii, Leipzig, B. G. Teubner, 1873
• Proclus de Lycie et Paul Ver Eecke (traduction, introduction, notes), Les Commentaires sur le premier livre des Éléments d'Euclide : traduits pour la première fois du grec en français, avec une introduction et des notes, 1948 (traduction de la précédente édition) ;

• Yves Coudène, La géométrie élémentaire d'Euclide à aujourd'hui, Calvage & Mounet, coll. « Mathématiques en devenir », 2022, 451 p. (ISBN 978-2-49-323001-0), chap. 1 et 2 (« Le livre I des Éléments - Le livre I commenté ») ;
• David Hilbert et Paul Rossier (édition critique, traduction, introduction et compléments), Les fondements de la géométrie, Paris, Dunod, 1971, 311 p., la traduction est celle de la 10^e édition, avec indications des variantes des éditions successives ;
• (en) Ian Mueller, Philosophy of Mathematics and Deductive Structure in Euclid's Elements, MIT Press, 1981 (ISBN 0-262-13163-3).

• (en) Euclid's Elements - book I adapté pour Internet par D. E. Joyce, à partir de la traduction de T.L. Heath (légèrement modifiée).

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