Loi de Laplace asymétrique

Laplace asymétrique
Densité de probabilité Densité de lois de Laplace asymétriques avec m = 0 en rouge. On note que les deux lois pour κ = 2 et 1/2 sont symétriques l'une de l'autre. En bleu, la loi de Laplace pour κ = 1
Fonction de répartition
Paramètres	${\displaystyle m}$ Paramètre de position (réel) ${\displaystyle \lambda >0\,}$ Paramètre d'échelle (réel) ${\displaystyle \kappa >0}$ asymétrie (réel)
Support	${\displaystyle x\in (-\infty ;+\infty )\,}$
Densité de probabilité	${\displaystyle {\frac {1}{2\,b}}\exp \left(-{\frac {|x-\mu |}{b}}\right)\,}$
Fonction de répartition	voir plus bas
Espérance	${\displaystyle m+{\frac {1-\kappa ^{2}}{\lambda \kappa }}}$
Médiane	${\displaystyle m+{\tfrac {\kappa }{\lambda }}\ln \left({\tfrac {1+\kappa ^{2}}{2\kappa ^{2}}}\right)}$ si ${\displaystyle \kappa >1}$ ${\displaystyle m-{\tfrac {1}{\lambda \kappa }}\ln \left({\tfrac {1+\kappa ^{2}}{2}}\right)}$ si ${\displaystyle \kappa <1}$
Mode	${\displaystyle m\,}$
Variance	${\displaystyle {\frac {1+\kappa ^{4}}{\lambda ^{2}\kappa ^{2}}}}$
Asymétrie	${\displaystyle {\frac {2\left(1-\kappa ^{6}\right)}{\left(\kappa ^{4}+1\right)^{3/2}}}}$
Kurtosis normalisé	${\displaystyle {\frac {6(1+\kappa ^{8})}{(1+\kappa ^{4})^{2}}}}$
Entropie	${\displaystyle \ln \left({\rm {e}}\,{\frac {1+\kappa ^{2}}{\kappa \lambda }}\right)}$
Fonction caractéristique	${\displaystyle {\frac {{\rm {e}}^{{\rm {i}}mt}}{(1+{\frac {{\rm {i}}t\kappa }{\lambda }})(1-{\frac {{\rm {i}}t}{\kappa \lambda }})}}}$

En théorie des probabilités et en statistique, la loi de Laplace asymétrique est une loi de probabilité continue, généralisation de la loi de Laplace. De même que la loi de Laplace est constituée de deux lois exponentielles de même échelle, accolées autour de x = m, la version asymétrique est constituée de deux lois exponentielles d'échelles inégales dos à dos autour de x = m, ajustées pour assurer la continuité et la normalisation. La différence entre deux variables distribuées de manière exponentielle avec des moyennes et des paramètres de taux différents suivra la loi de Laplace asymétrique. Lorsque les deux paramètres de taux sont égaux, la différence suivra la loi de Laplace.

Une variable aléatoire suit une loi de Laplace asymétrique (m, λ, κ) si sa fonction de densité de probabilité est ^[1],[2]

${\displaystyle f(x;m,\lambda ,\kappa )=\left({\frac {\lambda }{\kappa +1/\kappa }}\right)\,{\rm {e}}^{-(x-m)\lambda \,s\kappa ^{s}}}$

où s = sgn (x – m), ou alternativement :

${\displaystyle f(x;m,\lambda ,\kappa )={\frac {\lambda }{\kappa +1/\kappa }}{\begin{cases}\exp \left((\lambda /\kappa )(x-m)\right)&{\text{si }}x<m\\[4pt]\exp(-\lambda \kappa (x-m))&{\text{si }}x\geq m\end{cases}}}$

Ici, m est un paramètre de position, λ > 0 est un paramètre d'échelle et κ est un paramètre d'asymétrie. Lorsque κ = 1, (x – m) sκ^s se simplifie en |x – m| et la densité se résume à une densité de loi de Laplace.

La fonction de répartition est donnée par :

${\displaystyle F(x;m,\lambda ,\kappa )={\begin{cases}{\frac {\kappa ^{2}}{1+\kappa ^{2}}}\exp((\lambda /\kappa )(x-m))&{\text{si }}x\leq m\\[4pt]1-{\frac {1}{1+\kappa ^{2}}}\exp(-\lambda \kappa (x-m))&{\text{si }}x>m\end{cases}}}$

La fonction caractéristique d'une loi de Laplace asymétrique est donnée par :

${\displaystyle \varphi (t;m,\lambda ,\kappa )={\frac {{\rm {e}}^{{\rm {i}}mt}}{(1+{\frac {{\rm {i}}t\kappa }{\lambda }})(1-{\frac {{\rm {i}}t}{\kappa \lambda }})}}}$

Pour m = 0, la loi de Laplace asymétriques fait partie des lois géométriques stables pour α = 2. Il s'ensuit que si ${\displaystyle \varphi _{1}}$ et ${\displaystyle \varphi _{2}}$ sont deux fonctions caractéristiques désignant des lois de Laplace asymétriques distinctes avec m = 0, alors

${\displaystyle \varphi ={\frac {1}{1/\varphi _{1}+1/\varphi _{2}-1}}}$

est également une fonction caractéristique de loi de Laplace asymétrique avec paramètre de localisation ${\displaystyle m=0}$. Le nouveau paramètre d'échelle λ vaut

${\displaystyle {\frac {1}{\lambda ^{2}}}={\frac {1}{\lambda _{1}^{2}}}+{\frac {1}{\lambda _{2}^{2}}}}$

et le nouveau paramètre d'asymétrie κ vérifie:

${\displaystyle {\frac {\kappa ^{2}-1}{\kappa \lambda }}={\frac {\kappa _{1}^{2}-1}{\kappa _{1}\lambda _{1}}}+{\frac {\kappa _{2}^{2}-1}{\kappa _{2}\lambda _{2}}}}$

Le n-ième moment de la loi de Laplace asymétrique centré en m est donné par

${\displaystyle \mathbb {E} [(x-m)^{n}]={\frac {n!}{\lambda ^{n}(\kappa +1/\kappa )}}\,(\kappa ^{-(n+1)}-(-\kappa )^{n+1})}$

D'après le théorème binomial, le n-ième moment autour de zéro (pour m non nul) est alors :

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {E} [x^{n}]&={\frac {\lambda \,m^{n+1}}{\kappa +1/\kappa }}\,\left(\sum _{i=0}^{n}{\frac {n!}{(n-i)!}}\,{\frac {1}{(m\lambda \kappa )^{i+1}}}-\sum _{i=0}^{n}{\frac {n!}{(n-i)!}}\,{\frac {1}{(-m\lambda /\kappa )^{i+1}}}\right)\\&={\frac {\lambda \,m^{n+1}}{\kappa +1/\kappa }}\left(\mathrm {e} ^{m\lambda \kappa }\mathrm {E} _{-n}(m\lambda \kappa )-\mathrm {e} ^{-m\lambda /\kappa }\mathrm {E} _{-n}(-m\lambda /\kappa )\right)\end{aligned}}}$

où ${\displaystyle \mathrm {E} _{n}}$ est la fonction exponentielle intégrale généralisée ${\displaystyle \mathrm {E} _{n}(x)=x^{n-1}\Gamma (1-n,x)}$

Le premier moment autour de zéro est la moyenne :

${\displaystyle \mu =\mathbb {E} [x]=m-{\frac {\kappa -1/\kappa }{\lambda }}}$

La variance est :

${\displaystyle \sigma ^{2}=\mathbb {E} [x^{2}]-\mu ^{2}={\frac {1+\kappa ^{4}}{\kappa ^{2}\lambda ^{2}}}}$

et l'asymétrie est :

${\displaystyle {\frac {\mathbb {E} [x^{3}]-3\mu \sigma ^{2}-\mu ^{3}}{\sigma ^{3}}}={\frac {2\left(1-\kappa ^{6}\right)}{\left(\kappa ^{4}+1\right)^{3/2}}}}$

Les variables de Laplace asymétriques (X) peuvent être générées à partir d'une variable aléatoire U tirée selon une loi uniforme sur l'intervalle ]–κ , 1 / κ[ par :

${\displaystyle X=m-{\frac {1}{\lambda \,s\kappa ^{s}}}\ln(1-s\kappa ^{s}U)}$

où s = sgn(U).

Elles peuvent également être générées comme la différence de deux lois exponentielles. Si X₁ suit une loi exponentielle avec moyenne et taux (m₁, λ / κ) et X₂ suit une loi exponentielle avec moyenne et taux (m₂, λ κ) alors X₁ – X₂ suit une loi de Laplace asymétrique de paramètres (m₁ – m₂, λ, κ)

L'entropie différentielle de la loi de Laplace asymétrique est

${\displaystyle H=-\int _{-\infty }^{\infty }f_{AL}(x)\ln(f_{AL}(x))\mathrm {d} x=1-\ln \left({\frac {\lambda }{\kappa +1/\kappa }}\right)=\ln \left({\rm {e}}{\frac {\kappa ^{2}+1}{\lambda \kappa }}\right)}$

La loi de Laplace asymétrique a une entropie maximale pour toutes les distributions avec une valeur fixe (1 /λ) en ${\displaystyle (x-m)\,s\kappa ^{s}}$ où ${\displaystyle s=\operatorname {sgn}(x-m)}$.

Une paramétrisation alternative est rendue possible par la fonction caractéristique :

${\displaystyle \varphi (t;\mu ,\sigma ,\beta )={\frac {{\rm {e}}^{{\rm {i}}\mu t}}{1-{\rm {i}}\beta \sigma t+\sigma ^{2}t^{2}}}}$

où ${\displaystyle \mu }$ est un paramètre de position, ${\displaystyle \sigma }$ est un paramètre d'échelle, ${\displaystyle \beta }$ est un paramètre d'asymétrie. Ceci est spécifié dans les sections 2.6.1 et 3.1 de Lihn (2015)^[3]. Sa densité de probabilité est

${\displaystyle f(x;\mu ,\sigma ,\beta )={\frac {1}{2\sigma B_{0}}}{\begin{cases}\exp \left({\frac {x-\mu }{\sigma B^{-}}}\right)&{\text{si }}x<\mu \\[4pt]\exp(-{\frac {x-\mu }{\sigma B^{+}}})&{\text{si }}x\geq \mu \end{cases}}}$

où ${\displaystyle B_{0}={\sqrt {1+\beta ^{2}/4}}}$ et ${\displaystyle B^{\pm }=B_{0}\pm \beta /2}$. Il s'ensuit que ${\displaystyle B^{+}B^{-}=1,\P B^{+}-B^{-}=\beta }$.

Le n-ième moment centré en ${\displaystyle \mu }$ est donné par

${\displaystyle \mathbb {E} [(x-\mu )^{n}]={\frac {\sigma ^{n}n!}{2B_{0}}}((B^{+})^{n+1}+(-1)^{n}(B^{-})^{n+1})}$

La moyenne autour de zéro est :

${\displaystyle \mathbb {E} [x]=\mu +\sigma \beta }$

  La variance est :

${\displaystyle \mathbb {E} [x^{2}]-\mathbb {E} [x]^{2}=\sigma ^{2}(2+\beta ^{2})}$

L'asymétrie est :

${\displaystyle {\frac {2\beta (3+\beta ^{2})}{(2+\beta ^{2})^{3/2}}}}$

La kurtosis est :

${\displaystyle {\frac {6(2+4\beta ^{2}+\beta ^{4})}{(2+\beta ^{2})^{2}}}}$

  Pour de petites valeurs de ${\displaystyle \beta }$, l'asymétrie est d'environ ${\displaystyle 3\beta /{\sqrt {2}}}$. Ainsi ${\displaystyle \beta }$ représente l’asymétrie de manière presque directe.

La loi de Laplace asymétrique est couramment utilisée avec une paramétrisation alternative pour effectuer une régression quantile dans un contexte d'inférence bayésienne^[4]. Dans cette approche, le paramètre ${\displaystyle \kappa }$ décrivant l'asymétrie est remplacé par un paramètre ${\displaystyle p}$ indiquant le percentile ou le quantile souhaité. Grâce à cette paramétrisation, la vraisemblance de la loi de Laplace asymétrique est équivalente à la fonction de perte utilisée en régression quantile. Avec cette autre paramétrisation, la densité de probabilité est définie comme suit :

${\displaystyle f(x;m,\lambda ,p)={\frac {p(1-p)}{\lambda }}{\begin{cases}\exp \left(-((p-1)/\lambda )(x-m)\right)&{\text{si }}x\leq m\\[4pt]\exp(-(p/\lambda )(x-m))&{\text{si }}x>m\end{cases}}}$

Où m est un paramètre de position, λ > 0 est un paramètre d'échelle et 0 < p < 1 est un paramètre de centile.

La moyenne ${\displaystyle \mu }$ et la variance ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ sont obtenus par :

${\displaystyle \mu =m+{\frac {1-2p}{p(1-p)}}\lambda }$

${\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {1-2p+2p^{2}}{p^{2}(1-p)^{2}}}\lambda ^{2}}$

La fonction de répartition est donnée par^[5]:

${\displaystyle F(x;m,\lambda ,p)={\begin{cases}p\exp({\frac {1-p}{\lambda }}(x-m))&{\text{si }}x\leq m\\[4pt]1-(1-p)\exp({\frac {-p}{\lambda }}(x-m))&{\text{si }}x>m\end{cases}}}$

La loi de Laplace asymétrique a des applications en finance et en neurosciences. Par exemple, en finance, SG Kou a développé un modèle de prix d'instruments financiers intégrant une distribution de Laplace asymétrique afin de résoudre les problèmes d'asymétrie, d'aplatissement et de volatilité, souvent rencontrés lors de l'utilisation d'une distribution normale pour la valorisation de ces instruments^[6]. Un autre exemple concerne les neurosciences, où sa convolution avec une distribution normale est considérée comme un modèle des temps de réaction d'arrêt du cerveau^[7].

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