Loi infiniment divisible

En probabilités, une loi infiniment divisible est une propriété de certaines lois de probabilités, étendant la définition des lois stables.

Pour n un entier non nul, une loi de probabilités ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ est dite n-divisible (ou n-stable) s'il existe n variables aléatoires ${\displaystyle X_{1},...,X_{n}}$, iid et de même loi, telles que la variable ${\displaystyle X_{1}+...+X_{n}}$ suive la même loi ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$.

Une loi est dite infiniment divisible si et seulement si elle est n-stable pour tout n > 0.

De manière équivalente, une loi de fonction caractéristique φ est infiniment divisible si et seulement si, pour tout n > 0, φⁿ est une fonction caractéristique.

Les lois normale, de Poisson, exponentielle, gamma, géométrique, binomiale négative, de Cauchy, du χ² non centrée, de Pareto, de Gumbel, de demi-Cauchy sont des lois infiniment divisibles.

Les lois des accroissements d'un processus de Lévy sont infiniment divisibles, les accroissements de longueur t étant la somme de n accroissements de longueur t/n qui sont i.i.d. (indépendantes identiquement distribuées) par hypothèse.

• (en) Ken-Iti Sato, Indefinitely divisible laws and Lévy processes, vol. 68, Cambridge University Press, coll. « Cambridge Studies in Advanced Mathematics », 1999.
• (en) Patrick Billingsley, Convergence of Probability Measures, Wiley, 15 janvier 1968 (ISBN 978-0-471-07242-3, présentation en ligne)
• (en) Kai Lai Chung, A Course in Probability Theory, Academic Press, 2001 (ISBN 978-0-12-174151-8, lire en ligne)

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