Loi réciproque

loi réciproque
Fonction de masse
Fonction de répartition
Paramètres	${\displaystyle 0<a<b,a,b\in \mathbb {R} }$
Support	${\displaystyle [a,b]}$
Densité de probabilité	${\displaystyle {\frac {1}{x\ln {\frac {b}{a}}}}}$
Fonction de répartition	${\displaystyle {\frac {\ln {\frac {x}{a}}}{\ln {\frac {b}{a}}}}}$
Espérance	${\displaystyle {\frac {b-a}{\ln {\frac {b}{a}}}}=M_{\text{ln}}(a,b)}$
Médiane	${\displaystyle {\sqrt {ab}}=G(a,b)}$
Mode	${\displaystyle a}$
Variance	${\displaystyle {\frac {b^{2}-a^{2}}{2\ln {\frac {b}{a}}}}-\left({\frac {b-a}{\ln {\frac {b}{a}}}}\right)^{2}}$

En probabilités et en statistique, la loi réciproque, également appelée distribution log-uniforme, est une loi de probabilité continue. Elle se caractérise par le fait que sa densité de probabilité, dans son support de la distribution, est proportionnelle à l'inverse de la variable.

La loi réciproque est un exemple de loi inverse, et l'inverse d'une variable aléatoire avec une loi réciproque suit elle-même une loi réciproque.

La densité de probabilité de la loi réciproque est

${\displaystyle f(x;a,b)={\frac {1}{x[\ln(b)-\ln(a)]}}1\!\!1_{[a,b]}(x)\quad {\text{ pour }}a>0.}$

Ici, ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle b}$ sont les paramètres de la distribution, qui sont les bornes inférieure et supérieure du support, et ${\displaystyle \ln }$ est le logarithme naturel. La fonction de répartition est

${\displaystyle F(x;a,b)={\frac {\ln(x)-\ln(a)}{\ln(b)-\ln(a)}}1\!\!1_{[a,b]}(x).}$

L'espérance de la loi réciproque sur [a , b] est la moyenne logarithmique de a et b :

${\displaystyle \mathbb {E} (X)=\int _{a}^{b}{\frac {x}{x[\ln(b)-\ln(a)]}}\mathrm {d} x={\frac {b-a}{\ln(b)-\ln(a)}}=M_{\ln }(a,b).}$

Sa médiane est la moyenne géométrique de a et b, en effet :

${\displaystyle F(m;a,b)={\frac {\ln(m)-\ln(a)}{\ln(b)-\ln(a)}}={\frac {1}{2}}\Longleftrightarrow {\frac {m}{a}}=\left({\frac {b}{a}}\right)^{\frac {1}{2}}\Longleftrightarrow m={\sqrt {ab}}.}$

Une variable aléatoire positive X est distribuée de manière log-uniforme si le logarithme de X est distribué de manière uniforme, soit

${\displaystyle \ln(X)\sim {\mathcal {U}}(\ln(a),\ln(b)).}$

Cette relation est vraie quelle que soit la base de la fonction logarithmique ou exponentielle. Si ${\displaystyle \log _{a}(Y)}$ est distribué uniformément, alors il en est de même ${\displaystyle \log _{b}(Y)}$, pour deux nombres positifs quelconques ${\displaystyle a,b\neq 1}$. De même, si ${\displaystyle {\rm {e}}^{X}}$ est distribuée de manière log-uniforme, alors il en est de même ${\displaystyle a^{X}}$, où ${\displaystyle 0<a\neq 1}$.

Pour une variable aléatoire X de densité f_X continue, on définit la varextropie pondérée de X par :

${\displaystyle VJ^{w}(X)={\frac {1}{4}}\int _{-\infty }^{+\infty }x^{2}f_{X}(x)^{3}\mathrm {d} x-{\frac {1}{4}}\left(\int _{-\infty }^{+\infty }xf_{X}(x)^{2}\mathrm {d} x\right)^{2}}$

alors X suit une loi réciproque si et seulement si ${\displaystyle VJ^{w}(X)=0}$^[1].

La loi réciproque est d’une importance considérable dans l'analyse numérique, car les opérations arithmétiques d’un ordinateur, en particulier les multiplications et/ou divisions répétées, transforment les mantisses avec des lois initialement arbitraires en loi réciproque comme loi limite^[2],[3].

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