Méthode des moments d'aires

La méthode des « moments d'aires » concerne la déformation des poutres en flexion, et permet de calculer la pente et la flèche d'une poutre^[1],[2],[3].

La méthode des moments d'aires est une méthode par intégration géométrique permettant de calculer la déformée d'une poutre en la reliant à un diagramme M/EI.

Considérons une poutre rectiligne. Après déformation, sa courbe moyenne a pour équation

${\displaystyle y=u_{y}(x)}$,

u_y(x) étant la flèche à l'abscisse x considérée. La pente φ est la dérivée de cette courbe :

${\displaystyle \varphi ={\frac {\mathrm {d} u_{y}}{\mathrm {d} x}}}$.

Le rayon de courbure ρ vérifie

${\displaystyle {\frac {1}{\rho }}\simeq {\frac {\mathrm {d} ^{2}u_{y}}{\mathrm {d} x^{2}}}}$.

La théorie des poutres nous donne

${\displaystyle {\frac {1}{\rho }}={\frac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} x}}={\frac {\mathrm {M} _{\mathrm {f} z}}{\mathrm {E} \mathrm {I} _{\mathrm {G} z}}}}$

où

• M_fz est le moment fléchissant ;
• E est le module de Young du matériau ;
• I_Gz est le moment quadratique de la section droite par rapport à l'axe Gz.

On a donc :

${\displaystyle d\varphi ={\frac {\mathrm {M} _{\mathrm {f} z}}{\mathrm {E} \mathrm {I} _{\mathrm {G} z}}}\mathrm {d} x}$

La variation de pente entre deux points A et B de la poutre s'écrit :

${\displaystyle \varphi _{\mathrm {AB} }=\int _{\mathrm {A} }^{\mathrm {B} }\mathrm {d} \varphi =\int _{x_{\mathrm {A} }}^{x_{\mathrm {B} }}{\frac {\mathrm {M} _{\mathrm {f} z}}{\mathrm {E} \mathrm {I} _{\mathrm {G} z}}}\mathrm {d} x}$

Cela représente l'aire, comprise entre x_A et x_B, sous la courbe M_fz/EI_Gz :

${\displaystyle \varphi _{\mathrm {AB} }=\left\lbrack {\text{aire sous}}\ {\frac {\mathrm {M} _{\mathrm {f} z}}{\mathrm {E} \mathrm {I} _{\mathrm {G} z}}}\right\rbrack _{\mathrm {A} }^{\mathrm {B} }}$.

La méthode des moments d'aires est basée sur deux théorèmes dits théorèmes des moments d'aires.

• Méthode de Mohr
• Fonctions de singularités
• Méthode de superposition

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