Modèle de Beverton–Holt

Le modèle de Beverton-Holt est un modèle de dynamique de population en temps discret qui exprime le nombre n_t+1 d'individus à la génération t+1 en fonction du nombre n_t d'individus de la génération précédente t, selon la relation

${\displaystyle n_{t+1}={\frac {R_{0}n_{t}}{1+n_{t}/M}},}$

où R₀ est le taux de prolifération par génération et K = (R₀ − 1) M est la capacité de charge du milieu. Le modèle de Beverton-Holt a été initialement introduit dans le domaine de la pêche par Beverton et Holt (1957). Des travaux ultérieurs ont dérivé ce modèle sous d'autres hypothèses, telles que la compétition par accumulation (Brännström et Sumpter, 2005), la compétition limitée par les ressources au cours de l'année (Geritz et Kisdi, 2004) ou encore le résultat de zones malthusiennes source-puits reliées par une dispersion dépendante de la densité (Bravo de la Parra et al., 2013). Le modèle de Beverton-Holt peut être généralisé pour inclure la compétition par accumulation (voir, par exemple, les modèles de Ricker, de Hassell et de Maynard Smith-Slatkin). Il est également possible d'inclure un paramètre reflétant le regroupement spatial des individus (Brännström et Sumpter, 2005).

Bien que non linéaire, ce modèle peut être résolu explicitement, car il s'agit en fait d'une équation linéaire non homogène en 1/n. La solution est alors

${\displaystyle n_{t}={\frac {Kn_{0}}{n_{0}+(K-n_{0})R_{0}^{-t}}}.}$

De par sa structure, le modèle peut être considéré comme l'analogue en temps discret du modèle logistique à temps continu pour la croissance démographique introduite par Verhulst, dont l'équation est

${\displaystyle {\frac {dN}{dt}}=rN\left(1-{\frac {N}{K}}\right),}$

avec pour solution

${\displaystyle N(t)={\frac {KN(0)}{N(0)+(K-N(0))e^{-rt}}}.}$

• Beverton, R. J. H.; Holt, S. J. (1957), On the Dynamics of Exploited Fish Populations, Fishery Investigations Series II Volume XIX, Ministry of Agriculture, Fisheries and Food.
• Brännström, Åke; Sumpter, David J. T. (2005), "The role of competition and clustering in population dynamics", Proc. R. Soc. B, 272(1576), 2065–2072, doi:10.1098/rspb.2005.3185.
• Bravo de la Parra, R.; Marvá, M.; Sánchez, E.; Sanz, L. (2013), "Reduction of discrete dynamical systems with applications to dynamics population models" (PDF), Math Model Nat Phenom, 8(6), 107–129.
• Geritz, Stefan A. H.; Kisdi, Éva (2004), "On the mechanistic underpinning of discrete-time population models with complex dynamics", J. Theor. Biol., 228(2), 261–269, doi:10.1016/j.jtbi.2004.01.003.
• Ricker, W. E. (1954), "Stock and recruitment", J. Fisheries Res. Board Can., 11, 559–623.
• (en) Martin Bohner et Sabrina Streipert, « Optimal harvesting policy for the Beverton--Holt model », Mathematical Biosciences and Engineering, vol. 13, n^o 4,‎ mai 2016, p. 673–695 (ISSN 1551-0018, DOI 10.3934/mbe.2016014, lire en ligne, consulté le 1^er décembre 2025)

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