Moyenne circulaire

En mathématiques et en statistiques, une moyenne circulaire ou moyenne angulaire est une moyenne conçue pour les angles et les quantités périodiques, telles que les heures de la journée et les parties fractionnaires de nombres réels, la plupart des moyennes usuelles n'étant pas adaptées aux quantités périodiques. Ainsi, la moyenne arithmétique de 0° et 360° est de 180°, ce qui est trompeur car 360° est égal à 0° modulo un cycle complet^[1]. De même, le « temps moyen » entre 23 h et 1 h est minuit ou midi, selon que les deux heures font partie d'une même nuit ou d'un même jour calendaire.

La moyenne circulaire est l'un des exemples les plus simples de statistiques directionnelles et de statistiques des espaces non euclidiens. Ce calcul produit un résultat différent de la moyenne arithmétique, la différence étant plus importante lorsque les angles sont largement distribués. Par exemple, la moyenne arithmétique des trois angles 0°, 0° et 90° est (0° + 0° + 90°) / 3 = 30°, mais la moyenne vectorielle est arctan(1/2) = 26,565°. De plus, avec la moyenne arithmétique, la variance circulaire n'est définie que pour un angle de ±180°.

Étant donné que la moyenne arithmétique n’est pas toujours appropriée pour les angles, la méthode suivante peut être utilisée pour obtenir à la fois une valeur moyenne et une mesure de la variance des angles :

on convertit tous les angles en points correspondants sur le cercle unité, par exemple, on envoie le point ${\displaystyle \alpha }$ à ${\displaystyle (\cos \alpha ,\sin \alpha )}$ Autrement dit, on convertit les coordonnées polaires en coordonnées cartésiennes. On calcule ensuite la moyenne arithmétique de ces points. Le point résultant sera situé à l'intérieur du disque unité, mais généralement hors du cercle unité. On reconvertit enfin ce point en coordonnées polaires. L'angle est une moyenne raisonnable des angles d'entrée. Le rayon résultant sera de 1 si tous les angles sont égaux. Si les angles sont uniformément répartis sur le cercle, le rayon résultant sera de 0, et il n'y a pas de moyenne circulaire. (En fait, il est impossible de définir une moyenne continue sur le cercle.) Autrement dit, le rayon mesure la concentration des angles.

Étant donné les angles ${\displaystyle \alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}}$ une formule courante de la moyenne circulaire utilisant la variante atan2 de la fonction arc tangente est

${\displaystyle {\bar {\alpha }}=\operatorname {atan2} \left({\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}\sin \alpha _{j},{\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}\cos \alpha _{j}\right)=\operatorname {atan2} \left(\sum _{j=1}^{n}\sin \alpha _{j},\sum _{j=1}^{n}\cos \alpha _{j}\right)}$

Une définition équivalente peut être formulée en utilisant des nombres complexes :

${\displaystyle {\bar {\alpha }}=\arg \left({\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}\exp({\rm {i}}\alpha _{j})\right)=\arg \left(\sum _{j=1}^{n}\exp({\rm {i}}\alpha _{j})\right)}$.

Afin de faire correspondre la dérivation ci-dessus en utilisant la moyenne arithmétique des points, les sommes devraient être divisées par ${\displaystyle n}$. Cependant, la mise à l'échelle n'a pas d'importance pour les fonctions ${\displaystyle \operatorname {atan2} }$ et ${\displaystyle \arg }$, donc le facteur peut être omis dans la définition.

Ceci peut être exprimé plus succinctement en remarquant que les données directionnelles sont en fait des vecteurs de longueur unitaire. Dans le cas de données unidimensionnelles, ces points de données peuvent être représentés facilement par des nombres complexes de module unitaire. ${\displaystyle z=\cos(\theta )+{\rm {i}}\,\sin(\theta )={\rm {e}}^{{\rm {i}}\theta }}$, où ${\displaystyle \theta }$ est l'angle mesuré. Le vecteur résultant moyen pour l'échantillon est alors :

${\displaystyle {\overline {\mathbf {\rho } }}={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}z_{n}.}$

L'angle moyen de l'échantillon est alors l'argument de la moyenne résultante :

${\displaystyle {\overline {\theta }}=\operatorname {arg} ({\overline {\mathbf {\rho } }}).}$

La longueur du vecteur résultant de la moyenne de l'échantillon est :

${\displaystyle {\overline {R}}=|{\overline {\mathbf {\rho } }}|}$

et aura une valeur comprise entre 0 et 1. Ainsi, le vecteur résultant de la moyenne de l'échantillon peut être représenté comme :

${\displaystyle {\overline {\mathbf {\rho } }}={\overline {R}}\,{\rm {e}}^{{\rm {i}}{\overline {\theta }}}.}$

Des calculs similaires sont également utilisés pour définir la variance circulaire.

La moyenne circulaire, ${\displaystyle {\bar {\alpha }}}$

• maximise la vraisemblance de l'estimation de la moyenne de la loi de von Mises et
• minimise la somme d'une certaine distance sur le cercle, plus précisément

${\displaystyle {\bar {\alpha }}={\underset {\beta }{\operatorname {argmin} }}\sum _{j=1}^{n}d(\alpha _{j},\beta ),{\text{ avec }}d(\varphi ,\beta )=1-\cos(\varphi -\beta ).}$

La distance ${\displaystyle d(\varphi ,\beta )}$ est égale à la moitié de la distance euclidienne au carré entre les deux points du cercle unité associé à ${\displaystyle \varphi }$ et ${\displaystyle \beta }$.

Une manière simple de calculer la moyenne d'une série d'angles (dans l'intervalle [0°, 360°[ ) consiste à calculer la moyenne des cosinus et sinus de chaque angle, puis à obtenir l'angle en calculant l'arctangente du point moyen. On prend l'exemple des trois angles suivants : 10, 20 et 30 degrés. Intuitivement, calculer la moyenne impliquerait d'additionner ces trois angles et de diviser par 3, ce qui donne ici un angle moyen (correct) de 20 degrés. En tournant ce système de 15 degrés dans le sens anti-horaire, les trois angles deviennent 355 degrés, 5 degrés et 15 degrés. La moyenne arithmétique est alors de 125 degrés, ce qui est faux, puisqu'elle devrait être de 5 degrés. La moyenne vectorielle ${\textstyle {\bar {\theta }}}$ peut être calculé de la manière suivante, en utilisant le sinus moyen ${\textstyle {\bar {s}}}$ et le cosinus moyen ${\textstyle {\bar {c}}\not =0}$ :

${\displaystyle {\bar {s}}={\frac {1}{3}}(\sin(355^{\circ })+\sin(5^{\circ })+\sin(15^{\circ }))={\frac {1}{3}}(-0,087+0,087+0,259)\approx 0,086}$

${\displaystyle {\bar {c}}={\frac {1}{3}}(\cos(355^{\circ })+\cos(5^{\circ })+\cos(15^{\circ }))={\frac {1}{3}}(0,996+0,996+0,966)\approx 0,986}$

${\displaystyle {\bar {\theta }}=\left.{\begin{cases}\arctan \left({\frac {\bar {s}}{\bar {c}}}\right)&{\bar {s}}>0,\ {\bar {c}}>0\\\arctan \left({\frac {\bar {s}}{\bar {c}}}\right)+180^{\circ }&{\bar {c}}<0\\\arctan \left({\frac {\bar {s}}{\bar {c}}}\right)+360^{\circ }&{\bar {s}}<0,\ {\bar {c}}>0\end{cases}}\right\}=\arctan \left({\frac {0,086}{0,986}}\right)=\arctan(0,087)=5^{\circ }.}$

Un ensemble de N vecteurs unitaires indépendants sont tirés suivant une loi de von Mises-Fisher. Les estimations du maximum de vraisemblance de la direction moyenne est simplement la moyenne arithmétique normalisée, qui est une statistique suffisante^[2]:

$${\displaystyle \mu ={\bar {x}}/{\bar {R}},{\text{avec }}{\bar {x}}={\frac {1}{N}}\sum _{i}^{N}x_{i},{\text{et }}{\bar {R}}=\|{\bar {x}}\|,}$$

Une moyenne sphérique pondérée peut être définie sur la base d'une interpolation linéaire sphérique^[3].

• Centre de masse
• Centroïde
• Loi enveloppée
• Écart type circulaire
• Statistiques directionnelles
• Moyenne de Fréchet
• Méthode de Yamartino

• (en) S. Rao Jammalamadaka et A. SenGupta, Topics in Circular Statistics, Singapour, World Scientific Press, 2001 (ISBN 981-02-3778-2), « Section 1.3 »
• (en) Thomas Hotz, Lecture Notes in Computer Science, vol. 8085, Berlin, Heidelberg, Springer Berlin Heidelberg, 2013, 433–440 p. (ISBN 978-3-642-40019-3, ISSN 0302-9743, DOI 10.1007/978-3-642-40020-9_47), « Extrinsic vs Intrinsic Means on the Circle »

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