Moyenne de Héron

En mathématiques, la moyenne de Héron ${\displaystyle H}$ de deux nombres réels positifs ou nuls ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle B}$ est donnée par la formule $${\displaystyle H={\frac {1}{3}}\left(A+{\sqrt {AB}}+B\right).}$$Son nom est donné en référence à Héron d'Alexandrie^[1].

Comme toutes les moyennes, la moyenne de Héron est symétrique (elle ne dépend pas de l'ordre dans lequel ses deux arguments sont donnés) et idempotente (la moyenne de tout nombre avec lui-même est égale à ce même nombre).

La moyenne de Héron de deux nombres ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle B}$ est une moyenne pondérée de leurs moyennes arithmétique et géométrique^[1]: $${\displaystyle H={\frac {2}{3}}\cdot {\frac {A+B}{2}}+{\frac {1}{3}}\cdot {\sqrt {AB}}.}$$ Par conséquent, sa valeur se situe entre ces deux moyennes, et entre les deux nombres donnés^[1].

La moyenne de Héron peut être utilisée pour calculer le volume d'un tronc de pyramide ou de cône. Ce volume est égal au produit de la hauteur du tronc et de la moyenne de Héron des aires des faces parallèles opposées^[2].

Une version de cette formule, pour les troncs de pyramides à base carrée, apparaît dans le Papyrus mathématique de Moscou des mathématiques de l'Égypte ancienne, dont le contenu remonte à environ 1850 av. J.-C.^[1],[3].

Le volume d'une couronne sphérique est le produit de la moyenne de Héron des aires des sphères interne et externe, par l'épaisseur de la couronne ${\displaystyle d=R-r}$ :

${\displaystyle V=4\pi {\frac {R^{2}+Rr+r^{2}}{3}}\times d=H(4\pi R^{2},4\pi r^{2})\times d}$.

• (en) Eric W. Weisstein, « Heronian Mean », sur MathWorld

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