Moyenne identrique

La moyenne identrique de deux nombres réels strictement positifs ${\displaystyle a,b}$ est définie par^[1],[2],[3]:

${\displaystyle {\begin{aligned}I(a,b)&={\frac {1}{\mathrm {e} }}\cdot \lim _{(x,y)\to (a,b)}{\sqrt[{x-y}]{\frac {x^{x}}{y^{y}}}}\\[8pt]&=\lim _{(x,y)\to (a,b)}\exp \left({\frac {x\cdot \ln x-y\cdot \ln y}{x-y}}-1\right)\\[8pt]&={\begin{cases}a&{\text{si }}a=b\\[8pt]{\frac {1}{\mathrm {e} }}{\sqrt[{a-b}]{\frac {a^{a}}{b^{b}}}}&{\text{sinon.}}\end{cases}}\end{aligned}}}$

Elle peut être obtenue à partir du théorème des accroissements finis en considérant une sécante à la courbe de la fonction ${\displaystyle x\mapsto x\ln x}$. La moyenne identrique est un cas particulier de moyenne de Stolarsky, qui l'a lui-même définie^[4], et, en tant que telle, peut être généralisée à un nombre quelconque de variables par le théorème des accroissements finis pour les différences divisées.

Heuristiquement, la limite de la moyenne arithmétique des valeurs d'une fonction sur un intervalle [a , b] est la valeur moyenne de cette fonction sur [a , b].

Plus précisément, d'après le théorème des sommes de Riemann, pour f continue sur un intervalle [a , b], on considère n + 1 points équirépartis a = x₀ < ... < x_n = b. Alors :

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow +\infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}f(x_{k})={\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x}$.

En revanche, la limite de la moyenne géométrique des valeurs d'une fonction f continue positive sur un intervalle [a , b] est moins évidente : en posant

${\displaystyle \ell =\lim _{n\rightarrow +\infty }{\sqrt[{n}]{\prod _{k=1}^{n}f(x_{k})}}}$

on a :

${\displaystyle \ln(\ell )=\lim _{n\rightarrow +\infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}\ln(f(x_{k}))={\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}\ln(f(x))\,\mathrm {d} x}$.

On en déduit :

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow +\infty }{\sqrt[{n}]{\prod _{k=1}^{n}x_{k}}}=\exp \left({\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}\ln(x)\,\mathrm {d} x\right)}$

Or :

${\displaystyle \int _{a}^{b}\ln(x)\,\mathrm {d} x=[x\ln x-x]_{a}^{b}=b\ln(b)-b-a\ln(a)+a=\ln \left({\frac {b^{b}}{a^{a}}}\mathrm {e} ^{-(b-a)}\right)}$

On en déduit ainsi que la limite de la moyenne géométrique des valeurs contenues dans un intervalle [a , b] est la moyenne identrique de a et b :

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow +\infty }{\sqrt[{n}]{\prod _{k=1}^{n}x_{k}}}=I(a,b).}$

Pour deux nombres strictement positifs distincts ${\displaystyle a,b}$ , on a les inégalités^[5]:

${\displaystyle H(a,b)<G(a,b)<L(a,b)<P(a,b)<I(a,b)<A(a,b)}$

où :

• H désigne la moyenne harmonique ;
• G désigne la moyenne géométrique ;
• L désigne la moyenne logarithmique ;
• P désigne la deuxième moyenne de Seiffert ;
• A désigne la moyenne arithmétique.

De même, si M_p désigne la moyenne d'ordre p, alors^[5]:

${\displaystyle M_{2/3}(a,b)<I(a,b)<M_{\ln 2}(a,b)}$

La moyenne identrique est bornée par des valeurs faisant appel à la fonction Gamma et γ, constante d'Euler-Mascheroni^[6]:

${\displaystyle \forall b>a\geqslant 1,\forall r\leqslant 1/2,\forall s\geqslant \gamma ,\left({\frac {b}{a}}\right)^{r}{\frac {\Gamma (b)}{\Gamma (a)}}<I(a,b)^{b-a}<\left({\frac {b}{a}}\right)^{s}{\frac {\Gamma (b)}{\Gamma (a)}}.}$

• Moyenne
• Moyenne logarithmique

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Identric mean » (voir la liste des auteurs).

• (en) Eric W. Weisstein, « Identric Mean », sur MathWorld

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