Nœud de trèfle

En théorie des nœuds, le nœud de trèfle est le nœud le plus simple après le nœud trivial. C'est le seul nœud premier à trois croisements. On peut aussi le décrire comme nœud torique de type (2,3), son mot dans le groupe de tresses étant σ₁³. Une autre description (liée à la précédente) est l'intersection de la sphère unité ${\displaystyle S^{3}}$ dans C² avec la courbe plane complexe d'équation ${\displaystyle z^{2}+w^{3}=0}$.

Le nœud de trèfle est chiral, c’est-à-dire qu'il n’est pas équivalent à son image par réflexion. C’est un nœud alterné. C’est un nœud fibré, ce qui signifie que son complément dans ${\displaystyle S^{3}}$ est un fibré sur ${\displaystyle S^{1}}$. Dans la description du nœud de trèfle comme ensemble des couples de nombres complexes ${\displaystyle (z,w)}$ tels que ${\displaystyle |z|^{2}+|w|^{2}=1}$ et ${\displaystyle z^{2}+w^{3}=0}$, ce fibré est donné par l’application de Milnor (en) ${\displaystyle \phi (z,w)=(z^{2}+w^{3})/|z^{2}+w^{3}|}$, et la fibre est un tore privé d'un disque. Il est tricoloriable.

Le polynôme d’Alexander du nœud de trèfle est ${\displaystyle t^{2}-t+1}$. Son polynôme de Jones est ${\displaystyle z+z^{3}-z^{4}}$.

Le groupe de nœud (en) du nœud de trèfle est isomorphe au groupe de tresses B₃.

• Triquetra, le symbole dont le nœud de trèfle celtique est un exemple
• Demi-nœud
• Nœud de vache et nœud plat, qui sont somme de deux nœuds de trèfle.

• Robert Ferréol, « Noeud de trèfle », sur Encyclopédie des formes mathématiques remarquables
• (en) Eric W. Weisstein, « Trefoil Knot », sur MathWorld
• (en) « 3 1 », sur The Knot Atlas (consulté le 6 décembre 2025)

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