Nombre ami

En théorie des nombres, les nombres amis sont deux ou plusieurs nombres naturels ayant le même indice d'abondance, c'est-à-dire le même rapport entre la somme des diviseurs d'un nombre et ce nombre lui-même. Deux nombres ayant le même indice d'abondance forment une paire amie ; n nombres ayant le même indice d'abondance forment un n - uplet ami .

Être amis est une relation d'équivalence et induit donc une partition des nombres naturels positifs en groupes de nombres amis entre eux

Un nombre qui ne fait partie d'aucune paire amicale est dit solitaire.

L'indice d'abondance de n est le nombre rationnel σ(n) / n, où σ désigne la fonction somme des diviseurs . Un nombre n est dit amical s'il existe m ≠ n tel que σ(m) / m = σ(n) / n . L'abondance est différente de l'abondance relative, qui est définie comme σ(n) − 2n .

L'indice d'abondance peut également être exprimée comme ${\displaystyle \sigma _{-1}(n)}$ où ${\displaystyle \sigma _{k}}$ désigne une fonction diviseuse avec ${\displaystyle \sigma _{k}(n)}$ égal à la somme des puissances k -ièmes des diviseurs de n .

Les nombres de 1 à 5 sont tous solitaires. Le premier nombre ami est 6, formant par exemple la paire amie 6 et 28 avec un indice d'abondance σ(6) / 6 = (1+2+3+6) / 6 = 2, le même que σ(28) / 28 = (1+2+4+7+14+28) / 28 = 2. Dans ce cas, le nombre partagé 2 est un entier, mais très souvent, ce n'est pas le cas. Les nombres avec un indice d'abondance de 2 sont aussi connus comme nombres parfaits. Il y a plusieurs problêmes non résolus au sujet des nombres amis.

Malgré la similitude de leur nom, il n'existe aucune relation spécifique entre les nombres ami et les nombres amicaux ou sociables, bien que les définitions de ces deux derniers impliquent également la fonction diviseur.

Comme autre exemple de nombres amis, les nombres 30 et 140 forment une paire amie, car 30 et 140 ont la même abondance^[1] :

${\displaystyle {\dfrac {\sigma (30)}{30}}={\dfrac {1+2+3+5+6+10+15+30}{30}}={\dfrac {72}{30}}={\dfrac {12}{5}}}$

${\displaystyle {\dfrac {\sigma (140)}{140}}={\dfrac {1+2+4+5+7+10+14+20+28+35+70+140}{140}}={\dfrac {336}{140}}={\dfrac {12}{5}}.}$

Un exemple de deux nombres impairs amis est la paire amie 135 et 819 (abondance 16/9, ce sont des nombres déficients). Il existe également des cas où des nombres pairs sont amis avec des nombres impairs, comme 42, 3472, 56896... (suite A347169 de l'OEIS), qui sont tous amis avec 544635 avec pour indice d'abondance 16/7.

Un nombre carré peut être un nombre ami, par exemple 693479556 (le carré de 26334) et 8640 ont tous deux une abondance de 127/36 (cet exemple est attribué à Dean Hickerson).

Dans le tableau ci-dessous, les nombres bleus sont ceux dont on sait qu'ils sont amis avec d'autres (suite A074902 de l'OEIS), les nombres rouges sont ceux dont on sait qu'ils sont solitaires (suite A095739 de l'OEIS) , les nombres n tels que n et ${\displaystyle \sigma (n)}$ sont premiers entre eux ( ne sont pas colorés, bien qu'ils soient tous solitaires. Les autres nombres (par exemple 10^,[2],[3],[4], 14^[5], 15^[6], 20^[7]) ont un statut inconnu et sont jaunes.

${\displaystyle n}$	${\displaystyle \sigma (n)}$	${\displaystyle {\frac {\sigma (n)}{n}}}$
1	1	1
2	3	3/2
3	4	4/3
4	7	7/4
5	6	6/5
6	12	2
7	8	8/7
8	15	15/8
9	13	13/9
10	18	9/5
11	12	12/11
12	28	7/3
13	14	14/13
14	24	12/7
15	24	8/5
16	31	31/16
17	18	18/17
18	39	13/6
19	20	20/19
20	42	21/10
21	32	32/21
22	36	18/11
23	24	24/23
24	60	5/2
25	31	31/25
26	42	21/13
27	40	40/27
28	56	2
29	30	30/29
30	72	12/5
31	32	32/31
32	63	63/32
33	48	16/11
34	54	27/17
35	48	48/35
36	91	91/36

${\displaystyle n}$	${\displaystyle \sigma (n)}$	${\displaystyle {\frac {\sigma (n)}{n}}}$
37	38	38/37
38	60	30/19
39	56	56/39
40	90	9/4
41	42	42/41
42	96	16/7
43	44	44/43
44	84	21/11
45	78	26/15
46	72	36/23
47	48	48/47
48	124	31/12
49	57	57/49
50	93	93/50
51	72	24/17
52	98	49/26
53	54	54/53
54	120	20/9
55	72	72/55
56	120	15/7
57	80	80/57
58	90	45/29
59	60	60/59
60	168	14/5
61	62	62/61
62	96	48/31
63	104	104/63
64	127	127/64
65	84	84/65
66	144	24/11
67	68	68/67
68	126	63/34
69	96	32/23
70	144	72/35
71	72	72/71
72	195	65/24

${\displaystyle n}$	${\displaystyle \sigma (n)}$	${\displaystyle {\frac {\sigma (n)}{n}}}$
73	74	74/73
74	114	57/37
75	124	124/75
76	140	35/19
77	96	96/77
78	168	28/13
79	80	80/79
80	186	93/40
81	121	121/81
82	126	63/41
83	84	84/83
84	224	8/3
85	108	108/85
86	132	66/43
87	120	40/29
88	180	45/22
89	90	90/89
90	234	13/5
91	112	16/13
92	168	42/23
93	128	128/93
94	144	72/47
95	120	24/19
96	252	21/8
97	98	98/97
98	171	171/98
99	156	52/33
100	217	217/100
101	102	102/101
102	216	36/17
103	104	104/103
104	210	105/52
105	192	64/35
106	162	81/53
107	108	108/107
108	280	70/27

${\displaystyle n}$	${\displaystyle \sigma (n)}$	${\displaystyle {\frac {\sigma (n)}{n}}}$
109	110	110/109
110	216	108/55
111	152	152/111
112	248	31/14
113	114	114/113
114	240	40/19
115	144	144/115
116	210	105/58
117	182	14/9
118	180	90/59
119	144	144/119
120	360	3
121	133	133/121
122	186	93/61
123	168	56/41
124	224	56/31
125	156	156/125
126	312	52/21
127	128	128/127
128	255	255/128
129	176	176/129
130	252	126/65
131	132	132/131
132	336	28/11
133	160	160/133
134	204	102/67
135	240	16/9
136	270	135/68
137	138	138/137
138	288	48/23
139	140	140/139
140	336	12/5
141	192	64/47
142	216	108/71
143	168	168/143
144	403	403/144

Un nombre qui n'appartient à aucune paire amie est dit solitaire. Tous les nombres premiers sont solitaires, de même que les puissances de nombres premiers. Plus généralement, si les nombres n et σ(n) sont premiers entre eux – c'est-à-dire que leur plus grand commun diviseur est 1, de sorte que σ(n) / n est une fraction irréductible – alors le nombre n est solitaire (suite A014567 de l'OEIS) (Pour un nombre premier p, on a σ(p) = p + 1, qui est premier avec p).

Il n'existe aucune méthode générale connue pour déterminer si un nombre est amical ou solitaire.

Le plus petit nombre dont la classification est inconnue est 10 ; on suppose qu'il est solitaire. Sinon, son plus petit ami est au moins ${\displaystyle 10^{30}}$^[8],[9]. J. Ward a prouvé que tout entier positif ${\displaystyle n}$ autres que 10 avec un indice d'abondance ${\displaystyle {\frac {9}{5}}}$ doit être un carré possédant au moins six facteurs premiers distincts, le plus petit étant 5. De plus, au moins un des facteurs premiers doit être congru à 1 modulo 3 et apparaître avec un exposant congru à 2 modulo 6 dans la décomposition en facteurs premiers de ${\displaystyle n}$ H.R. (Maya) Thackeray ^[2] a appliqué les méthodes de Nielsen ^[10] pour montrer que chaque ami de 10 possède au moins 10 facteurs premiers non identiques. Sourav Mandal et Sagar Mandal ^[3] ont prouvé que si ${\displaystyle n}$ est un ami de 10 et si ${\displaystyle q_{2},q_{3},q_{4}}$ sont le deuxième, le troisième et le quatrième plus petits diviseurs premiers de ${\displaystyle n}$ respectivement alors

${\displaystyle 7\leq q_{2}<\left\lceil {\frac {7\omega (n)}{3}}\right\rceil {\biggl (}\log \left\lceil {\frac {7\omega (n)}{3}}\right\rceil +2\log \log \left\lceil {\frac {7\omega (n)}{3}}\right\rceil {\biggr )},}$

${\displaystyle 11\leq q_{3}<\left\lceil {\frac {180\omega (n)}{41}}\right\rceil {\biggl (}\log \left\lceil {\frac {180\omega (n)}{41}}\right\rceil +2\log \log \left\lceil {\frac {180\omega (n)}{41}}\right\rceil {\biggr )},}$

${\displaystyle 13\leq q_{4}<\left\lceil {\frac {390\omega (n)}{47}}\right\rceil {\biggl (}\log \left\lceil {\frac {390\omega (n)}{47}}\right\rceil +2\log \log \left\lceil {\frac {390\omega (n)}{47}}\right\rceil {\biggr )},}$

où ${\displaystyle \omega (n)}$ est le nombre de diviseurs premiers distincts de ${\displaystyle n}$ et ${\displaystyle \left\lceil \right\rceil }$ est la fonction plafond . S. Mandal ^[4] a démontré que la moitié des exposants des diviseurs premiers d'un ami de 10 ne sont pas tous congrus à 1 modulo 3. De plus, il a démontré que si ${\displaystyle n=5^{2a}\cdot Q^{2}}$ ( ${\displaystyle Q}$ (est un entier positif impair premier avec 15) est un ami de 10, alors ${\displaystyle \sigma (5^{2a})+\sigma (Q^{2})}$ est congru à 6 modulo 8 si et seulement si ${\displaystyle a}$ est même, et ${\displaystyle \sigma (5^{2a})+\sigma (Q^{2})}$ est congru à 2 modulo 8 si et seulement si ${\displaystyle a}$ c'est étrange. Il a également établi que ${\displaystyle n>{\frac {25}{81}}\cdot \prod _{i=1}^{\omega (n)}(2a_{i}+1)^{2}}$, en particulier ${\displaystyle n>625\cdot 9^{\omega (n)-3}}$ en définissant ${\displaystyle Q=\prod _{i=2}^{\omega (n)}p_{i}^{a_{i}}}$ et ${\displaystyle a=a_{1}}$, où ${\displaystyle p_{i}}$ sont des nombres premiers.

Il existe des petits nombres ayant un plus petit ami relativement grand. Ainsi, le plus petit nombre ami avec 24 est 91 963 648^[8],[9].

L'existence de groupes infiniment grands de nombres mutuellement amis (ayant le même indice d'abondance) reste un problème ouvert. Les nombres parfaits forment un groupe, et l'on conjecture qu'il existe une infinité de nombres parfaits (au moins autant que de nombres premiers de Mersenne ), mais aucune démonstration n'en est faite. Il existe des groupes dont on connaît davantage de membres : en particulier, ceux formés de nombres parfaits multiples, c'est-à-dire des nombres dont l'indice d'abondance est un nombre entier. Bien que certains soient connus pour être assez grands, on conjecture que les groupes de nombres parfaits multiples (à l'exclusion des nombres parfaits eux-mêmes) sont finis.

Chaque paire a, b de nombres amis donne lieu à une proportion positive de tous les nombres naturels qui sont amis (mais dans des clubs différents), en considérant les paires na, nb pour les multiplicateurs n avec pgcd ( n, ab ) = 1. Par exemple, la paire amie « primitive » 6 et 28 donne lieu aux paires amies 6n et 28n pour tout n qui est congru à 1, 5, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 37 ou 41 modulo 42^[11].

Cela montre que la densité asymptotique des nombres amicaux (si elle existe) est positive.

Anderson et Hickerson ont proposé que la densité devrait en fait être de 1 (ou de manière équivalente que la densité des nombres solitaires devrait être de 0)^[11]. Selon l'article de MathWorld sur les nombres solitaires (voir la section Références ci-dessous), cette conjecture n'a pas été résolue, bien que Pomerance ait pensé à un moment donné l'avoir réfutée.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Friendly Number » (voir la liste des auteurs).

• Grime, James. Une vidéo sur le nombre 10. Numberphile.
• (en) Eric W. Weisstein, « Friendly Number », sur MathWorld.
• (en) Eric W. Weisstein, « Friendly Pair », sur MathWorld.
• (en) Eric W. Weisstein, « Solitary Number », sur MathWorld.
• (en) Eric W. Weisstein, « Abundancy », sur MathWorld

• Arithmétique et théorie des nombres