Nombre de Dudeney

Un nombre de Dudeney est un entier naturel non nul égal au cube de la somme de ses chiffres en base 10. Ils tirent leur nom du créateur anglais de casse-têtes numériques et logiques Henry Dudeney, qui remarqua leur existence dans une de ses énigmes, dans laquelle un professeur en retraite affirmait obtenir une méthode générale d'extraction de racine en effectuant la somme des chiffres^[1].

Il y a exactement six nombres de Dudeney^[2]^,^[3] (suite A061209 de l'OEIS) :

     1 =  1³   ;   1 = 1
   512 =  8³   ;   8 = 5 + 1 + 2
 4 913 = 17³   ;  17 = 4 + 9 + 1 + 3
 5 832 = 18³   ;  18 = 5 + 8 + 3 + 2
17 576 = 26³   ;  26 = 1 + 7 + 5 + 7 + 6
19 683 = 27³   ;  27 = 1 + 9 + 6 + 8 + 3

Généralisation à un exposant quelconque

Un nombre généralisé de Dudeney est un entier naturel non nul égal à la puissance n-ième de la somme de ses chiffres.

Pour $n=2$ , le seul nombre est $81=(8+1)^{2}$ .

Pour $n=4$ , il y a cinq nombres : $2401,234\,256,390\,625,614\,656,1\,679\,616$ ^[3].

Les plus grands entiers égaux à la puissance n-ième de la somme de leurs chiffres pour $n$ donné sont donnés par la suite A061211 de l'OEIS.

Variante

Les entiers naturels non nuls égaux à la somme des cubes de leurs chiffres sont $1,153=1+125+27,370,371,407$ ^[3]; voir la suite A046197 de l'OEIS.

Les nombres égaux à la somme des puissances n-ième de leurs chiffres sont les nombres d'Armstrong de quatrième espèce.

Notes et références

↑ (en) H. E. Dudeney, 536 Puzzles & Curious Problems, London, Souvenir Press, 1968 (lire en ligne), p. 36-37, pb 120
↑ Si $A=a^{3}$ est un nombre de Dudeney, et n est le nombre de chiffres de a, A a au plus 3n chiffres, et donc $10^{n-1}\leqslant a\leqslant 27n$ , d´où $n\leqslant 2$ et $a\leqslant 54$ ; Dudeney conclut par une recherche exhaustive.
Daniel Lignon, Dictionnaire de (presque) tous les nombres entiers, Ellipses, 2012, p. 438

Arithmétique et théorie des nombres

[1] (en) H. E. Dudeney, 536 Puzzles & Curious Problems, London, Souvenir Press, 1968 (lire en ligne), p. 36-37, pb 120

[2] Si $A=a^{3}$ est un nombre de Dudeney, et n est le nombre de chiffres de a, A a au plus 3n chiffres, et donc $10^{n-1}\leqslant a\leqslant 27n$ , d´où $n\leqslant 2$ et $a\leqslant 54$ ; Dudeney conclut par une recherche exhaustive.

[:0-3] Daniel Lignon, Dictionnaire de (presque) tous les nombres entiers, Ellipses, 2012, p. 438

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