En arithmétique, un nombre de Lucas-Carmichael est un entier positif composé n tel que si p est un facteur premier de n, alors p + 1 est un diviseur de n + 1.
Par convention, on ne considère un entier comme étant un nombre de Lucas-Carmichael que s'il est sans facteur carré, sinon tous les cubes de nombres premiers tels que 8 ou 27 seraient des nombres de Lucas-Carmichael (car n3 + 1 = (n + 1)(n2 − n + 1) est toujours divisible par n + 1).
Exemple
399 = 3 × 7 × 19 est un nombre de Lucas-Carmichael car 399 + 1 = 400 et 3 + 1, 7 + 1 ainsi que 19 + 1 sont tous des diviseurs de 400.
Propriétés
Le plus petit nombre de Lucas-Carmichael est 399. Le plus petit à 5 facteurs est 588 455 = 5 × 7 × 17 × 23 × 43.
On ne sait pas s'il existe un nombre de Lucas-Carmichael qui soit aussi un nombre de Carmichael.
Liste
Les 92 premiers nombres de Lucas-Carmichael sont (suite A006972 de l'OEIS) :
| 399 |
= 3 × 7 × 19
|
| 935 |
= 5 × 11 × 17
|
| 2 015 |
= 5 × 13 × 31
|
| 2 915 |
= 5 × 11 × 53
|
| 4 991 |
= 7 × 23 × 31
|
| 5 719 |
= 7 × 19 × 43
|
| 7 055 |
= 5 × 17 × 83
|
| 8 855 |
= 5 × 7 × 11 × 23
|
| 12 719 |
= 7 × 23 × 79
|
| 18 095 |
= 5 × 7 × 11 × 47
|
| 20 705 |
= 5 × 41 × 101
|
| 20 999 |
= 11 × 23 × 83
|
| 22 847 |
= 11 × 31 × 67
|
| 29 315 |
= 5 × 11 × 13 × 41
|
| 31 535 |
= 5 × 7 × 17 × 53
|
| 46 079 |
= 11 × 59 × 71
|
| 51 359 |
= 7 × 11 × 23 × 291
|
| 60 059 |
= 19 × 29 × 109
|
| 63 503 |
= 11 × 23 × 251
|
| 67 199 |
= 11 × 41 × 149
|
| 73 535 |
= 5 × 7 × 11 × 191
|
| 76 751 |
= 23 × 47 × 71
|
| 80 189 |
= 17 × 53 × 89
|
|
| 81 719 |
= 11 × 17 × 19 × 23
|
| 88 559 |
= 19 × 59 × 79
|
| 90 287 |
= 17 × 47 × 113
|
| 104 663 |
= 13 × 83 × 97
|
| 117 215 |
= 5 × 7 × 17 × 197
|
| 120 581 |
= 17 × 41 × 173
|
| 147 455 |
= 5 × 7 × 11 × 383
|
| 152 279 |
= 29 × 59 × 89
|
| 155 819 |
= 19 × 59 × 139
|
| 162 687 |
= 3 × 7 × 61 × 127
|
| 191 807 |
= 7 × 11 × 47 × 53
|
| 194 327 |
= 7 × 17 × 23 × 71
|
| 196 559 |
= 11 × 107 × 167
|
| 214 199 |
= 23 × 67 × 139
|
| 218 735 |
= 5 × 11 × 41 × 97
|
| 230 159 |
= 47 × 59 × 83
|
| 265 895 |
= 5 × 7 × 71 × 107
|
| 357 599 |
= 11 × 19 × 29 × 59
|
| 388 079 |
= 23 × 47 × 359
|
| 390 335 |
= 5 × 11 × 47 × 151
|
| 482 143 |
= 31 × 103 × 151
|
| 588 455 |
= 5 × 7 × 17 × 23 × 43
|
| 653 939 |
= 11 × 13 × 17 × 269
|
|
| 663 679 |
= 31 × 79 × 271
|
| 676 799 |
= 19 × 179 × 199
|
| 709 019 |
= 17 × 179 × 233
|
| 741 311 |
= 53 × 71 × 197
|
| 760 655 |
= 5 × 7 × 103 × 211
|
| 761 039 |
= 17 × 89 × 503
|
| 776 567 |
= 11 × 227 × 311
|
| 798 215 |
= 5 × 11 × 23 × 631
|
| 880 319 |
= 11 × 191 × 419
|
| 895 679 |
= 17 × 19 × 47 × 59
|
| 913 031 |
= 7 × 23 × 53 × 107
|
| 966 239 |
= 31 × 71 × 439
|
| 966 779 |
= 11 × 179 × 491
|
| 973 559 |
= 29 × 59 × 569
|
| 1 010 735 |
= 5 × 11 × 17 × 23 × 47
|
| 1 017 359 |
= 7 × 23 × 71 × 89
|
| 1 097 459 |
= 11 × 19 × 59 × 89
|
| 1 162 349 |
= 29 × 149 × 269
|
| 1 241 099 |
= 19 × 83 × 787
|
| 1 256 759 |
= 7 × 17 × 59 × 179
|
| 1 525 499 |
= 53 × 107 × 269
|
| 1 554 119 |
= 7 × 53 × 59 × 71
|
| 1 584 599 |
= 37 × 113 × 379
|
|
| 1 587 599 |
= 13 × 97 × 1259
|
| 1 659 119 |
= 7 × 11 × 29 × 743
|
| 1 707 839 |
= 7 × 29 × 47 × 179
|
| 1 710 863 |
= 7 × 11 × 17 × 1307
|
| 1 719 119 |
= 47 × 79 × 463
|
| 1 811 687 |
= 23 × 227 × 347
|
| 1 901 735 |
= 5 × 11 × 71 × 487
|
| 1 915 199 |
= 11 × 13 × 59 × 227
|
| 1 965 599 |
= 79 × 139 × 179
|
| 2 048 255 |
= 5 × 11 × 167 × 223
|
| 2 055 095 |
= 5 × 7 × 71 × 827
|
| 2 150 819 |
= 11 × 19 × 41 × 251
|
| 2 193 119 |
= 17 × 23 × 71 × 79
|
| 2 249 999 |
= 19 × 79 × 1499
|
| 2 276 351 |
= 7 × 11 × 17 × 37 × 47
|
| 2 416 679 |
= 23 × 179 × 587
|
| 2 581 319 |
= 13 × 29 × 41 × 167
|
| 2 647 679 |
= 31 × 223 × 383
|
| 2 756 159 |
= 7 × 17 × 19 × 23 × 53
|
| 2 924 099 |
= 29 × 59 × 1709
|
| 3 106 799 |
= 29 × 149 × 719
|
| 3 228 119 |
= 19 × 23 × 83 × 89
|
| 3 235 967 |
= 7 × 17 × 71 × 383.
|
|
Notes et références
Arithmétique et théorie des nombres