Nombre de Proth

En théorie des nombres, les nombres de Proth — nommés en référence au mathématicien François Proth — sont les entiers de la forme

${\displaystyle p=k2^{n}+1,}$

où les entiers ${\displaystyle n}$ et ${\displaystyle k}$ sont tels que ${\displaystyle 0<k<2^{n}}$.

Les sept premiers nombres de Proth (suite A080075 de l'OEIS) sont : P₀ = 2¹ + 1 = 3

P₁ = 2² + 1 = 5

P₂ = 2³ + 1 = 9

P₃ = 3 × 2² + 1 = 13

P₄ = 2⁴ + 1 = 17

P₅ = 3 × 2³ + 1 = 25

P₆ = 2⁵ + 1 = 33

Tous les nombres de Fermat (${\displaystyle k=1}$, ${\displaystyle n=}$ une puissance de 2) et les nombres de Cullen (${\displaystyle k=n>0}$) sont des nombres de Proth.

D'après le théorème de Proth, un nombre de Proth p est premier si et seulement s'il existe un entier a tel que :

${\displaystyle a^{(p-1)/2}\equiv -1{\pmod {p}}.}$

Nombre de Sierpiński

(en) Eric W. Weisstein, « Proth numbers », sur MathWorld

• Arithmétique et théorie des nombres