Nombre pandigital

Un nombre pandigital (ou nombre pannumérique) est un nombre comportant tous les chiffres (avec ou sans 0) dans une base donnée.

Si on exige que les chiffres n'apparaissent qu'une unique fois, il y en a alors, en base n, (n-1) x (n-1)! en comptant le 0 et (n-1)! sinon^[1], (factorielle de (n-1)) . Soit en base dix 9! = 362 880 sans le 0 et 9 x 9! = 3 265 920 avec le 0.

Les plus petits nombres pandigitaux sont 1.023.456.789, 1.023.456.798, 1.023.456.879, 1.023.456.897, 1.023.456.978

Le plus grand nombre pandigital est 9.876.543.210.

Plusieurs propriétés arithmétiques des nombres pandigitaux ont été étudiées, notamment en ce qui concerne la divisibilité et la décomposition en facteurs premiers.

Il existe 244 423 cas dans lesquels un nombre pandigital est un multiple entier d’un autre nombre pandigital. Ces cas forment souvent des chaînes de multiplications comportant plusieurs étapes successives, avec des facteurs identiques ou différents. Parmi ceux-ci

• 6 760 nombres pandigitaux initient une chaîne d’au moins deux étapes
• 68 initient une chaîne de trois étapes.

Le plus petit nombre premier qui n’est diviseur d’aucun nombre pandigital est 111 119. Toutefois, certains nombres premiers plus grands apparaissent comme diviseurs de nombres pandigitaux.

Le plus grand diviseur premier d’un nombre pandigital est 1 097 393 447 ; multiplié par 9, il donne le nombre pandigital 9 876 541 023.

Au total, il existe 87 carrés pandigitaux. Aucun cube pandigital ni aucun nombre pandigital possédant une racine entière d’ordre supérieur ne sont connus.

Seuls trois nombres pandigitaux ont une décomposition en facteurs premiers composée uniquement de puissances de nombres premiers à un chiffre (2, 3, 5 et 7) :

• 3.891.240.675 = 3³ * 5² * 7⁸
• 6.195.732.480 = 2¹³ * 3² * 5 * 7⁵
• 9.487.215.360 = 2⁸ * 3² * 5 * 7⁷

Pour tout entier naturel n, il existe un exposant maximal k tel que n^k divise au moins un nombre pandigital, tandis que n^k+1 ne divise aucun.

Par exemple, trois nombres pandigitaux sont divisibles par 2²¹, mais aucun par 2²² :

• 3.076.521.984 = 2²¹ * 3² * 163
• 3.718.250.496 = 2²¹ * 3² * 197
• 6.398.410.752 = 2²¹ * 3³ * 113

Pour 3, un seul nombre pandigital est divisible par 3¹⁵, et aucun par 3¹⁶ :

• 7 246 198 035 = 3¹⁵ × 5 × 101

Pour 4 comme carré de 2, on a les trois mêmes nombres nommés divisibles par 2²¹ et un autre qui est divisible par 4¹⁰ = 2²⁰ :

• 9.805.234.176 = 2²⁰ * 3² * 1039

De manière analogue, un seul nombre pandigital est divisible par 5⁹, tandis que 5¹⁰ n’apparaît pas:

• 9.123.046.875 = 3³ * 5⁹ * 173

Ce comportement s’étend à d’autres entiers. Par exemple, 13 nombres pandigitaux sont divisibles par 6⁸, alors que 6⁹ n’apparaît pas comme diviseur d’un nombre pandigital.

Pour 7, on a le cas connu: 3.891.240.675 = 3³ * 5² * 7⁸

• Ce nombre se compose uniquement des puissances de 3 et 5, en plus de 7.

Comme 4, 8 est une puissance de 2. Ça veut dire que les trois cas nommés répresentent 8⁷ comme 2²¹.

9 comme carré de 3 est répresenté par neuf nombres pandigitaux divisibles par 9⁷ = 3¹⁴ inclu celui nommé divisible par 3¹⁵.

Les nombres normaux et les nombres univers qui sont des cas particuliers de nombres pandigitaux.

• Arithmétique et théorie des nombres