Noyau défini positif

En mathématiques, et plus précisément en théorie des opérateurs intégraux, en statistiques et en apprentissage automatique, un noyau défini positif est une fonction à deux arguments et à valeur réelle qui généralise le concept de matrice symétrique semi-définie positive.

Cette définition ne doit pas être confondue avec la notion de noyau utilisée en statistiques, qui correspond à une fonction de pondération.

Soit ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ un ensemble non nul. Un noyau défini positif est^[1] une fonction ${\displaystyle \kappa :{\mathcal {X}}\times {\mathcal {X}}\rightarrow \mathbb {R} }$ symétrique et telle que, pour tout ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, tous ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}\in {\mathcal {X}}}$ et ${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{n}}$:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\kappa (x_{i},x_{j})a_{i}a_{j}\geq 0,}$

c'est-à-dire telle que la matrice à noyau ${\displaystyle K=[\kappa (x_{i},x_{j})]_{1\leq i\leq n,1\leq j\leq n}}$ est semi-définie positive.

Nom	Expression	Domaine	Paramètres
Linéaire	${\displaystyle \kappa (x,y)=x^{\mathsf {T}}y}$	${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} ^{d}}$
Polynomial	${\displaystyle \kappa (x,y)=(x^{\mathsf {T}}y+c)^{p}}$	${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} ^{d}}$	${\displaystyle c\geq 0,p\in \mathbb {N} }$
Gaussien	${\displaystyle \kappa (x,y)=\exp \left(-{\frac {\lVert x-y\rVert ^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)}$	${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} ^{d}}$	${\displaystyle \sigma >0}$
Laplacien	${\displaystyle \kappa (x,y)=\exp \left(-\alpha \lVert x-y\rVert _{1}\right)}$	${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} ^{d}}$	${\displaystyle \alpha >0}$
Matérn	${\displaystyle \kappa (x,y)={\frac {2^{1-\nu }}{\Gamma (\nu )}}\left({\sqrt {2\nu }}{\frac {\lVert x-y\rVert }{\sigma }}\right)^{\nu }K_{\nu }\left({\sqrt {2\nu }}{\frac {\lVert x-y\rVert }{\sigma }}\right)}$	${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} ^{d}}$	${\displaystyle \nu >0,\sigma >0}$

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