Opérateur carré du champ

En analyse et en théorie des probabilités, domaines des mathématiques, l'opérateur carré du champ est un opérateur bilinéaire et symétrique. Il mesure combien un générateur infinitésimal est éloigné d'une dérivation^[1]. L'opérateur a été introduit en 1969^[2] par Hiroshi Kunita et découvert indépendamment en 1976^[3] par Jean-Pierre Roth dans sa thèse de doctorat. Le nom « carré du champ » provient de l'électrostatique.

Soit ${\displaystyle (X,{\mathcal {E}},\mu )}$ soit un espace mesuré σ-fini, soit ${\displaystyle \{P_{t}\}_{t\geq 0}}$ un semi-groupe de Markov d'opérateurs non négatifs sur ${\displaystyle L^{2}(X,\mu )}$, soit ${\displaystyle A}$ le générateur infinitésimal de ${\displaystyle \{P_{t}\}_{t\geq 0}}$ et soit ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ l'algèbre des fonctions dans ${\displaystyle {\mathcal {D}}(A)}$.

L' opérateur carré du champ d'un semi-groupe markovien ${\displaystyle \{P_{t}\}_{t\geq 0}}$ est l'opérateur ${\displaystyle \Gamma :{\mathcal {A}}\times {\mathcal {A}}\to \mathbb {R} }$ défini^[4] par

${\displaystyle \Gamma (f,g)={\frac {1}{2}}\left(A(fg)-fA(g)-gA(f)\right)}$

pour tout ${\displaystyle f,g\in {\mathcal {A}}}$^[2],[5].

De la définition, il découle que^[1]

${\displaystyle \Gamma (f,g)=\lim \limits _{t\to 0}{\frac {1}{2t}}\left(P_{t}(fg)-P_{t}fP_{t}g\right).}$

Pour ${\displaystyle f\in {\mathcal {A}}}$, on a ${\displaystyle P_{t}(f^{2})\geq (P_{t}f)^{2}}$ et donc ${\displaystyle A(f^{2})\geq 2fAf}$ et

${\displaystyle \Gamma (f):=\Gamma (f,f)\geq 0,\quad \forall f\in {\mathcal {A}}}$

ce qui montre que l'opérateur du carré du champ est positif.

Son domaine est

${\displaystyle {\mathcal {D}}(A):=\left\{f\in L^{2}(X,\mu );\;\lim \limits _{t\downarrow 0}{\frac {P_{t}f-f}{t}}{\text{ existe et est dans }}L^{2}(X,\mu )\right\}.}$

La définition donnée dans la thèse de Roth^[3] est légèrement différente.

• Michel Ledoux, « The geometry of Markov diffusion generators », Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse: Mathématiques, série 6, vol. 9,‎ 2000, p. 305–366 (DOI 10.5802/afst.962, hdl 20.500.11850/146400, lire en ligne)
• Paul-André Meyer, « L'Operateur carré du champ », dans Séminaire de Probabilités X Université de Strasbourg, vol. 511, Berlin, Heidelberg, Springer, 1976, 142–161 p. (ISBN 978-3-540-07681-0, DOI 10.1007/BFb0101102)
• Francis Hirsch, Francis., « Opérateurs carré du champ », Séminaire Bourbaki, vol. 1976/77 Exposé n° 501,‎ 1978 (lire en ligne, consulté le 23 janvier 2026).

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Carré du champ operator » (voir la liste des auteurs).

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