Orthopôle

H est l'orthopôle de la droite ℓ par rapport au triangle ABC.

En géométrie, l'orthopôle d'une droite ℓ par rapport à un triangle ABC et dans le même plan est un point déterminé comme suit[1]: Soient A', B', C' les projections orthogonales sur ℓ des points A, B, C respectivement. Soient A'', B'', C'' les projections orthogonales de A', B', C' sur les côtés opposés (étendus) à A, B, C (respectivement). Alors les trois droites (A' A''), (B' B''), (C' C''), sont concourantes [2]. Le point de concours est l'orthopôle, nom donné par Joseph Neuberg.

En raison de leurs nombreuses propriétés, les orthopôles[3] ont fait l'objet d'une abondante littérature[4]. Certains sujets clés sont la détermination des droites ayant un orthopôle donné[5] et les cercles orthopolaires[6].

Propriétés

Dans un triangle, l'orthopôle d'une corde du cercle circonscrit est l'intersection des droites de Simson des extrémités de la corde.
  • L'orthopôle d'une droite ℓ est sur la droite de Simson orthogonale à ℓ
  • L'orthopôle d'une droite ℓ a même puissance par rapport à tous les cercles podaires des points de ℓ
  • Les droites de Simson des deux extrémités d'une corde ℓ du cercle circonscrit se croisent à l'orthopôle de ℓ[7]. L'orthopôle d'une droite ℓ qui passe par le centre du cercle circonscrit du triangle ABC se trouve sur le cercle d'Euler du triangle. Dans le cas où la droite est tangente en un point M du cercle circonscrit, l'orthopôle est le point caractéristique de la droite de Simson de M (le point où elle touche son enveloppe, la deltoïde de Steiner)

Cas particuliers

  • Pour un triangle donné, l'orthopôle de chacun des trois côtés est l'orthocentre du triangle[4].
  • L'orthopôle d'une droite perpendiculaire à un côté du triangle est le pied de cette perpendiculaire[4].
  • Pour un faisceau de droites passant par un point P fixe[4]:
    • si P est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC, les orthopôles du faisceau forment le cercle d'Euler du triangle
    • si P est sur le cercle circonscrit au triangle ABC, les orthopôles du faisceau forment la droite de Simson de P
    • dans le cas général, les orthopôles du faisceau forment une conique dont le centre est le point milieu entre P et l'orthocentre du triangle

Voir aussi

Références

  1. ↑ (en) Eric W. Weisstein, « Orthopole », sur MathWorld
  2. ↑ (en) R. Goormaghtigh, « The Orthopole », Tohoku Mathematical Journal, first Series, vol. 27,‎ , p. 77–125 (lire en ligne)
  3. ↑ (en) « The Orthopole », sur Geogebra,
  4. (en) O. J. Ramler, « The Orthopole Loci of Some One-Parameter Systems of Lines Referred to a Fixed Triangle », The American Mathematical Monthly, vol. 37, no 3,‎ , p. 130–136 (DOI 10.2307/2299415, JSTOR 2299415)
  5. ↑ (en) Mary Cordia Karl, « The Projective Theory of Orthopoles », The American Mathematical Monthly, vol. 39, no 6,‎ , p. 327–338 (DOI 10.2307/2300757, JSTOR 2300757)
  6. ↑ (en) R. Goormaghtigh, « 1936. The orthopole », The Mathematical Gazette, vol. 30, no 292,‎ , p. 293 (DOI 10.2307/3610737, JSTOR 3610737, S2CID 185932136)
  7. ↑ (en) Ross Honsberger, Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry, Washington DC, Math. Assoc. Ammer., , 120-136 p..

Liens externes

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