Papillon de nuit (fractale)

Le papillon de nuit est un triangle équilatéral fractal dont les côtés sont remplacés par la courbe des lépidoptères, une variante de la courbe de Koch. Il possède des propriétés similaires à celles du siamois, un losange fractal basé sur la courbe de Koch, et peut donc être décomposé en une infinité de copies de lui-même. Cette figure a été découverte par Giorgio Pietrocola en mars 2024 et publiée dans plusieurs revues mathématiques italiennes^[1],[2].

L'algorithme utilisé pour créer la courbe des lépidoptères est similaire à celui utilisé pour la courbe de Koch. Pour mettre cela en évidence, on utilise un algorithme qui converge plus lentement que celui normalement utilisé pour obtenir la courbe de Koch. Pour les deux courbes, on commence par un segment que l'on remplace par deux segments angulaires qui, ensemble, formeraient un triangle isocèle avec des angles de 30, 120 et 30 degrés. La même transformation est ensuite appliquée aux segments, qui croissent à chaque étape comme des puissances de deux. La différence entre les courbes réside dans l'alternance différente à droite ou à gauche des substitutions effectuées sur les segments, comme le montre la figure^[2].

to falena :lato :liv
right 180
make "nstop int (0.5+(power 2 :liv-1)*4/3)+2
make "mem pos
make "hh heading
hideturtle 
penup
forward :lato/2 
back :lato/2 
pendown
make "conta 0
make "mem pos
make "hh heading
falenarico :lato*3 :liv 1 1
penup 
setpos :mem
setheading :hh 
pendown
make "conta 0
make "mem pos
make "hh heading
falenarico :lato*3 :liv 1 -1
penup 
setpos :mem
setheading :hh 
pendown
showturtle
right 180
end

to falenarico :x :l :s :t
localmake "x :x/sqrt 3
if :l=0 [make "conta :conta+1
if :conta>=:nstop [ stop]
forward :x stop ]
left 30*:s*:t 
falenarico :x :l-1 -1 -:t
right 60*:s*:t
falenarico :x :l-1 1 -:t 
left 30*:s*:t
end

La procédure « falenarico » est utilisée par la procédure « falena ». Après les avoir copiées et enregistrées dans l'éditeur de FMSLogo, vous pouvez entrer « falena 200 10 » dans la ligne de commande pour obtenir un papillon de nuit de la taille et du niveau d'itération spécifiés. Des procédures supplémentaires telles que « falenarep » pour obtenir un papillon de nuit réplicatif comme indiqué dans la figure sont disponibles dans l'article en ligne^[2].

Alors que les polygones siamois et anti-siamois sont obtenus en remplaçant les côtés d'un losange par des courbes de Koch, le papillon est obtenu en remplaçant les côtés d'un triangle équilatéral par des courbes lépidoptères tournées vers l'extérieur. Si elles sont tournées vers l'intérieur, on obtient un anti-papillon (voir figure). Les périmètres de ces polygones fractals sont tous infinis. Alors que la surface du siamois augmente de 40 % par rapport à son losange de référence, celle du papillon augmente de 75 % par rapport à son triangle. Les anti-figures diminuent dans les mêmes proportions^[1]. Le siamois et le papillon, ainsi que leurs anti-figures, se décomposent en une infinité de copies identiques à elles-mêmes

La phalène et le siamois se prêtent tous deux à une grande variété de pavage du plan.

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  Pavage avec des papillons de nuit
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  Pavage avec des siamois
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• (it) Giorgio Pietrocola, « Affinità tra figure frattali. Algoritmi combinatori alla scoperta delle coppie drago, farfalla e falene, siamesi », Periodico di Matematica, Accademia di Filosofia delle Scienze Umane, vol. (IV) Vol. V(2),‎ 2024, p. 111–124 (ISSN 2612-6745, lire en ligne)
• (it) Giorgio Pietrocola, « Confronto tra falene e siamesi, due frattali dalle straordinarie proprietà », sur Maecla (Tartapelago), 2025 (consulté le 16 février 2026)

• Terpapillon

• Robert Ferréol, « Courbes du terdragon et des lépidoptères, terdragon et terpapillon », sur Encyclopédie des formes mathématiques remarquables

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