Persistance d'un nombre

La persistance d'un nombre est, en mathématiques, le nombre d'étapes nécessaires pour atteindre un point fixe, lorsqu'on effectue par itérations successives soit la somme des chiffres du nombre, soit leur produit.

Pour obtenir la persistance additive d'un nombre entier naturel, le principe consiste à additionner les chiffres de ce nombre, puis à recommencer avec le résultat obtenu jusqu'à obtenir un nombre à un seul chiffre^[1]. Par exemple, pour le nombre 2718, on obtient : 2718 → 18 → 9. Comme il faut 2 étapes pour obtenir un nombre à un chiffre, la persistance additive de 2718 est égale à 2.

Le résultat final, 9 pour cet exemple, s'appelle la racine numérique additive, ou cible additive du nombre ; un nombre étant congru à la somme de ses chiffres modulo 9, ce résultat est le reste dans la division par 9 du nombre, en remplaçant 0 par 9 si le reste est nul.

En effet, si un nombre ${\displaystyle N}$ a pour persistance additive ${\displaystyle n}$, le nombre formé de ${\displaystyle N}$ chiffres 1 (un rep-unit) a pour persistance additive ${\displaystyle n+1}$^[2].

Le tableau suivant donne les plus petits nombres pour les premières persistances additives (suite A006050 de l'OEIS).

Plus petit nombre ${\displaystyle a_{n}}$ de persistance additive ${\displaystyle n}$

${\displaystyle n}$	${\displaystyle a_{n}}$
0	0
1	10
2	19
3	199
4	19999999999999999999999

La suite ${\displaystyle (a_{n})_{n\geqslant 1}}$ est la suite définie par ${\displaystyle a_{1}=10,a_{n}=2.10^{\frac {a_{n-1}-1}{9}}-1}$.

Démonstration du fait que ${\displaystyle a_{n}}$ ainsi défini est le plus petit nombre de persistance additive ${\displaystyle n}$ ^[3]:

La formule de récurrence signifie que ${\displaystyle a_{n}}$ s'écrit avec un chiffre 1 suivi de ${\displaystyle {\frac {a_{n-1}-1}{9}}}$ chiffres 9 : la somme de ses chiffres est donc égale à ${\displaystyle a_{n-1}}$ et ${\displaystyle a_{1}}$ étant de persistance additive 1, ${\displaystyle a_{n}}$ est bien de persistance additive ${\displaystyle n}$.

De plus, si un nombre est strictement inférieur à un nombre ${\displaystyle m}$ commençant par le chiffre 1 et suivi uniquement de chiffres 9 : soit il a autant de chiffres que ${\displaystyle m}$, et, commençant par un 1, la somme de ses chiffres est strictement inférieure à celle de ${\displaystyle m}$, soit il a moins de chiffres et la somme de ses chiffres est aussi strictement inférieure à celle de ${\displaystyle m}$.

Si donc on suppose (hypothèse de récurrence) que ${\displaystyle a_{n-1}}$ est le plus petit nombre de persistance ${\displaystyle n-1}$, la somme des chiffres d'un nombre ${\displaystyle N<a_{n}}$ est strictement inférieure à celle de ${\displaystyle a_{n}}$ laquelle vaut ${\displaystyle a_{n-1}}$, donc la somme des chiffres de ${\displaystyle N}$ est égale à un nombre de persistance ${\displaystyle \leqslant {n-2}}$. Donc tout nombre ${\displaystyle <a_{n}}$ a une persistance ${\displaystyle \leqslant n-2+1=n-1}$ et ${\displaystyle a_{n}}$ est le plus petit nombre de persistance ${\displaystyle n}$.

L'initialisation de la récurrence est correcte car ${\displaystyle a_{1}}$ et le plus petit nombre de persistance 1.

On obtient la persistance multiplicative d'un nombre en multipliant ses chiffres entre eux, puis en recommençant avec le résultat obtenu jusqu'à obtenir un nombre à un seul chiffre. Par exemple, la persistance multiplicative de 39 est égale à 3, car il faut 3 étapes pour le réduire à un nombre à un chiffre : 39 → 27 → 14 → 4. Le résultat obtenu, ici 4, s'appelle la racine numérique multiplicative (ou la cible multiplicative) du nombre 39.

Actuellement, en base 10, on conjecture qu'il n'existe pas de nombre dont la persistance multiplicative est supérieure à 11. La plus ancienne mention connue de ce problème^[4] est un article de Neil Sloane publié en 1973^[5]. En 2013, Francesco De Comité a vérifié par ordinateur^[4] tous les nombres jusqu'à 10⁵⁰⁰ et cela a été vérifié jusqu'à 10²⁰⁵⁸⁵ en 2016^[6].

Le tableau suivant donne les plus petits nombres de persistance multiplicative donnée (suite A003001 de l'OEIS).

Basé sur la reformulation 4.2 de l'article "Suite multiplicative"^[7], une méthode pour résoudre ce problème serait d'utiliser des règles de langage pour décrire chaque groupe d'une persistance multiplicative donné dans une base donnée. Il faudrait ensuite vérifier si tous ces ensembles décrits par ces règles de langage, décrivent bien tous les entiers naturels ou non (dans la base donnée). Dans le cas contraire, on peut construire un contre exemple. Mais cette méthode est fastidieuse.

Un papier de 2021 indique que la conjecture est vraie pour les nombres dont la racine numérique (ou cible) est impaire^[8].

Plus précisément, il démontre que si la cible d'un nombre à deux chiffres est ${\displaystyle 1,3,7,{\text{ ou }}9}$ la persistance est égale à 1, et que si la cible est 5, la persistance est inférieure ou égale à 5. Par exemple, pour le cas de la cible 1, cela revient à démontrer qu'un nombre formé de chiffres 1 (un rep-unit) ne peut être produit d'entiers naturels ${\displaystyle \leqslant 9}$.

Dans son article^[5], Sloane mentionne une conjecture plus générale : pour toute base de numération ${\displaystyle b}$, il existe une constante ${\displaystyle M(b)}$ telle qu’aucun entier exprimé dans cette base ${\displaystyle b}$ n’a une persistance multiplicative supérieure à ${\displaystyle M(b)}$^[4].

Il est évident que ${\displaystyle M(2)=1}$ puisqu'en base 2 les seuls chiffres sont 0 ou 1 ; on conjecture que ${\displaystyle M(3)=3}$ ce qui serait une conséquence du fait non prouvé que l'écriture de toute puissance de 2 contient un chiffre zéro au-delà de ${\displaystyle 2^{15}}$en base 3 ^[5].

Les premières valeurs conjecturées des ${\displaystyle M(b)}$ sont indiquées dans ce tableau (suite A380137 de l'OEIS) :

${\displaystyle b}$	2	3	4	5	6	7	8	9	10
${\displaystyle M(b)}$	1	3	3	6	5	8	6	7	11

Comme un 0 parmi les chiffres écourte l’algorithme multiplicatif, Paul Erdős a proposé la variante où l’on ne s’occupe pas des chiffres nuls^[4].

On a, par exemple, la suite : 4570 → 140 → 4.

On trouve régulièrement des nombres de persistance multiplicative à la Erdős de plus en plus grande (en février 2025, a été trouvée une persistance égale à 39, voir la suite A014120 de l'OEIS, ce qui laisse penser que cette persistance n’est peut-être pas majorée.

• Nombre heureux (où l'algorithme consiste à itérer la somme des carrés des chiffres).
• Algorithme de Kaprekar (où l'on soustrait le nombre obtenu en ordonnant les chiffres dans l'ordre croissant du nombre obtenu en ordonnant les chiffres en décroissant)

• (en) Neil Sloane, « The persistence of a number », Journal of Recreational Mathematics, vol. 6, n^o 2,‎ 1973, p. 97–98 (lire en ligne).
• Jean-Paul Delahaye, « La persistance des nombres », Pour la science, n^o 430,‎ août 2013, p. 80–85 (lire en ligne).
• (en) Richard K. Guy, Unsolved Problems in Number Theory, Springer, 2004, 3^e éd. (lire en ligne), « F25 », p. 398–399.

• (en) Eric W. Weisstein, « Multiplicative Persistence », sur MathWorld
• (en) Eric W. Weisstein, « Additive Persistence », sur MathWorld

• Arithmétique et théorie des nombres