Polyèdre isoédrique
En géométrie, un polytope de dimension 3 (un polyèdre) ou plus est dit isoédrique lorsque ses faces sont identiques, et plus précisément lorsque le groupe de symétrie du solide agit transitivement sur l'ensemble des faces. En termes élémentaires, ceci signifie que pour deux faces quelconques A et B, il existe une rotation ou une réflexion du solide qui le laisse occuper la même région de l'espace en déplaçant la face A vers la face B. Par exemple, les polyèdres isoédriques convexes fournissent des dés équitables.
Les polyèdres isoédriques sont appelés des isoèdres. Ils peuvent être décrits par la configuration des faces. Pour un isoèdre à sommets réguliers le groupe de symétrie agit aussi transitivement sur les arêtes (c'est un polyèdre isotoxal). Un tel polyèdre est dit dualement quasi régulier.
Un isoèdre a un nombre pair de faces.
Un polyèdre isoédrique a un polyèdre dual qui est isogonal, c'est-à-dire sommets-transitif. Les solides de Catalan, les bipyramides et les trapézoèdres sont tous isoédriques. Ce sont les duaux des solides d'Archimède, des prismes et des antiprismes, respectivement, qui sont isogonaux. Les solides de Platon, qui sont soit auto-duaux, soit duaux d'un autre solide de Platon, sont isogonaux, isotoxaux et isoédriques. Un polyèdre isoédrique et isogonal est dit noble (en).
Les isozonoèdres (zonoèdres à faces isométriques)[1] ne sont pas tous des isoèdres. Exemple : l'icosaèdre rhombique est un isozonoèdre non isoèdrique[2].
Exemples
| Convexe | Concave | ||
|---|---|---|---|
 La bipyramide hexagonale, V4.4.6 est un exemple non régulier de polyèdre isoédrique. |
 Le pavage du Caire, V3.3.4.3.4 |
 Le nid d'abeilles dodécaédrique rhombique est un exemple de nid d'abeilles isoédrique (et isochore) remplissant l'espace. |
 Carrelage carré topologique. |
Classes d'isoèdres par symétrie
| Faces | config. des faces | Classe | Nom | Symmétrie | Ordre | Convexe | Coplanaire | Non convexe |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 4 | V33 | Platonique | tétraèdre tétraèdre équiface disphénoïde rhombique |
Td, [3,3], (*332) D2d, [2+,2], (2*) D2, [2,2]+, (222) |
24 4 4 4 |
  
|
||
| 6 | V34 | Platonique | cube Trapézoèdre trigonal Trapézoèdre trigonal asymétrique |
Oh, [4,3], (*432) D3d, [2+,6] (2*3) D3 [2,3]+, (223) |
48 12 12 6 |
  
|
||
| 8 | V43 | Platonique | octaère bipyramide carré bipyramide rhombique scalénoère carré |
Oh, [4,3], (*432) D4h,[2,4],(*224) D2h,[2,2],(*222) D2d,[2+,4],(2*2) |
48 16 8 8 |
     
|
||
| 12 | V35 | Platonique | dodécaère régulier pyritoère tétartoide |
Ih, [5,3], (*532) Th, [3+,4], (3*2) T, [3,3]+, (*332) |
120 24 12 |
  
|
 
|
 
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| 20 | V53 | Platonique | isocaère régulier | Ih, [5,3], (*532) | 120 | |||
| 12 | V3.62 | Catalan | triakitétraèdre | Td, [3,3], (*332) | 24 |  
|
||
| 12 | V(3.4)2 | Catalan | dodécaèdre rhombique dodécaère trapézoidal |
Oh, [4,3], (*432) Td, [3,3], (*332) |
48 24 |
  
|
 
| |
| 24 | V3.82 | Catalan | triakioctaèdre | Oh, [4,3], (*432) | 48 |  
| ||
| 24 | V4.62 | Catalan | tétrakihexaèdre | Oh, [4,3], (*432) | 48 |  
|
 
|
 
|
| 24 | V3.43 | Catalan | icositétraèdre trapézoïdal | Oh, [4,3], (*432) | 48 |  
|
  
|
|
| 48 | V4.6.8 | Catalan | hexakioctaèdre | Oh, [4,3], (*432) | 48 |   
|
 
| |
| 24 | V34.4 | Catalan | icositétraèdre pentagonal | O, [4,3]+, (432) | 24 | |||
| 30 | V(3.5)2 | Catalan | triacontaèdre rhombique | Ih, [5,3], (*532) | 120 | |||
| 60 | V3.102 | Catalan | triaki-icosaèdre | Ih, [5,3], (*532) | 120 |    
| ||
| 60 | V5.62 | Catalan | pentakidodécaèdre | Ih, [5,3], (*532) | 120 |     
| ||
| 60 | V3.4.5.4 | Catalan | hexacontaèdre trapézoïdal | Ih, [5,3], (*532) | 120 | |||
| 120 | V4.6.10 | Catalan | hexaki-icosaèdre | Ih, [5,3], (*532) | 120 |   
|
  
| |
| 60 | V34.5 | Catalan | hexacontaèdre pentagonal | I, [5,3]+, (532) | 60 | |||
| 2n | V33.n | Polaire | antidiamant antidiamant asymétrique |
Dnd, [2+,2n], (2*n) Dn, [2,n]+, (22n) |
4n 2n |
   
|
||
| 2n 4n |
V42.n V42.2n V42.2n |
Polaire | bipyramide n-régulière 2n-bipyramide isotoxal 2n-scalénoère |
Dnh, [2,n], (*22n) Dnh, [2,n], (*22n) Dnd, [2+,2n], (2*n) |
4n |  
|
      
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Définitions connexes
Une figure isochore est un n-polytope (n > 3) ou un nid d'abeilles dont le groupe de symétrie agit transitivement sur les cellules. En dimension 4, les polytopes isochores ont été dénombrés jusqu'à 20 cellules[3].
Une figure isotopique est un polytope à n dimensions ou un nid d'abeilles dont le groupe de symétrie agit transitivement sur les facettes ((n−1)- faces). la figure duale est isogonale.
Références
- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Isohedral figure » (voir la liste des auteurs).
- ↑ (en) Weisstein, « Isozonohedron », mathworld.wolfram.com (consulté le )
- ↑ (en) Weisstein, « Rhombic Icosahedron », mathworld.wolfram.com (consulté le )
- ↑ « Four Dimensional Dice Up To Twenty Sides », sur polytope.net (consulté le ).
Liens externes
- (en) Eric W. Weisstein, « Isohèdre », sur MathWorld
- (en) Eric W. Weisstein, « Pavage isohédrique », sur MathWorld
- isohedra 25 classes d'isoèdres de nombre d'arêtes fini
- Dice Design at The Dice Lab
- Robert Ferréol, « Polyèdre semi-régulier de deuxième espèce », sur Encyclopédie des formes mathématiques remarquables
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