Polynôme de Jensen

En analyse, les polynômes de Jensen sont des polynômes liés à une fonction entière réelle, dont les coefficients vérifient une inégalité semblable aux inégalités de Turán. Ils sont étudiés dans le cadre de la résolution de l'hypothèse de Riemann.

On considère une suite réelle positive (γ_n) vérifiant des inégalités de Turán :

${\displaystyle \forall n\geqslant 1,\ \gamma _{n}^{2}-\gamma _{n-1}\gamma _{n+1}\geqslant 0}$

et on définit la fonction entière :

${\displaystyle f(x):=\sum _{n=0}^{+\infty }\gamma _{n}{\frac {x^{n}}{n!}}}$

Alors les polynômes de Jensen associés à la fonction f sont la suite de polynômes définis par :

${\displaystyle g_{n}(x):=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\gamma _{k}x^{k}}$

George Pólya a établi que l'hypothèse de Riemann est équivalente à l'hyperbolicité de tous les polynômes de Jensen associés aux coefficients de Taylor de la fonction

${\displaystyle (-1+4z^{2})\Lambda \left({\frac {1}{2}}+z\right)=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {\gamma _{n}z^{2n}}{n!}}}$

avec ${\textstyle \Lambda (z)=\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\Gamma ({\frac {s}{2}})\zeta (z)={\frac {2}{z(z-1)}}\xi (z)}$, avec ξ la fonction xi de Riemann, et où un polynôme à coefficients réels est dit hyperbolique si tous ses zéros sont réels^[1],[2].

• inégalités de Turán
• fonction de type Laguerre-Pólya (en)

• (en) S. Karlin et G. Szegö, « On certain determinants whose elements are orthogonal polynomials », J. Anal. Math., vol. 8,‎ 1960, p. 1–157 (DOI 10.1007/BF02786848).
• (en) Thomas Craven et George Csordas, « Jensen polynomials and the Turán and Laguerre inequalities », Pacific Journal of Mathematics, vol. 136, n^o 2,‎ 1989, p. 241-260 (DOI 10.2140/pjm.1989.136.241, lire en ligne [PDF]).
• (en) George Csordas, Richard S. Varga et István Vincze, « Jensen polynomials with applications to the Riemann ξ-function. », Journal of Mathematical Analysis and Applications, vol. 153, n^o 1,‎ 1990, p. 112-135 (DOI 10.1016/0022-247X(90)90269-L).

• (en) Eric W. Weisstein, « Jensen Polynomial », sur MathWorld
• (en) Eric W. Weisstein, « Turán's Inequalities », sur MathWorld

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