Potentiels de Liénard-Wiechert

En électromagnétisme, les potentiels de Liénard-Wiechert, nommés d'après les physiciens Alfred-Marie Liénard et Emil Wiechert, décrivent les effets électromagnétiques induits par une charge ponctuelle q animée d'un mouvement arbitraire, via un potentiel scalaire et un potentiel vecteur dans la jauge de Lorenz. Ces potentiels, qui donnent la version des potentiels retardés appliqués à une charge ponctuelle q, se propagent dans l'espace à la vitesse de la lumière dans le vide c. Une particule chargée de vitesse v engendre, en un point M, un potentiel électrique V et un potentiel vecteur A qui s'expriment comme :

${\displaystyle V={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}}}\,{\frac {1}{[r]\left(1-{\frac {[\mathbf {v} ]\cdot [\mathbf {n} ]}{c}}\right)}}}$

${\displaystyle \mathbf {A} ={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}c^{2}}}\,{\frac {[\mathbf {v} ]}{[r]\left(1-{\frac {[\mathbf {v} ]\cdot [\mathbf {n} ]}{c}}\right)}}}$

avec : ${\displaystyle [r]=r\!\left(t-\displaystyle {\frac {[r]}{c}}\right)}$ , ${\displaystyle [\mathbf {v} ]=\mathbf {v} \!\left(t-\displaystyle {\frac {[r]}{c}}\right)}$ et ${\displaystyle [\mathbf {n} ]=\mathbf {n} \!\left(t-\displaystyle {\frac {[r]}{c}}\right)}$

Les versions équivalentes de ces expressions sous forme d'intégrales volumiques sont données par les potentiels retardés.

On peut utiliser les potentiels de Liénard-Wiechert pour calculer le champ électrique E et le champ magnétique B engendrés par une charge ponctuelle q animée d'un mouvement quelconque. Pour cela, on utilise les relations générales :

${\displaystyle \mathbf {E} =-{\boldsymbol {\operatorname {grad} }}\!\left(V\right)-{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}}$

${\displaystyle \mathbf {B} ={\boldsymbol {\operatorname {rot} }}\!\left(\mathbf {A} \right)}$

Les champs dérivant des potentiels de Liénard-Wiechert sont :

${\displaystyle {\vec {E}}={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}\left[{\frac {{\vec {n}}-{\vec {v}}/c}{r^{2}\gamma ^{2}\left(1-{\vec {n}}\cdot {\vec {v}}/c\right)^{3}}}\right]_{t_{r}}+{\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}c^{2}}}\left[{\frac {{\vec {n}}\wedge \left[\left({\vec {n}}-{\vec {v}}/c\right)\wedge {\vec {a}}\right]}{r\left(1-{\vec {n}}\cdot {\vec {v}}/c\right)^{3}}}\right]_{t_{r}}}$

${\displaystyle {\vec {B}}={\frac {q\mu _{0}}{4\pi }}\left[{\frac {{\vec {v}}\wedge {\vec {n}}}{r^{2}\gamma ^{2}\left(1-{\vec {n}}\cdot {\vec {v}}/c\right)^{3}}}\right]_{t_{r}}+{\frac {q\mu _{0}}{4\pi c}}\left[{\frac {{\vec {n}}\wedge \left({\vec {n}}\wedge \left(({\vec {n}}-{\vec {v}}/c)\wedge {\vec {a}}\right)\right)}{r\left(1-{\vec {n}}\cdot {\vec {v}}/c\right)^{3}}}\right]_{t_{r}}}$

${\displaystyle {\vec {B}}={\frac {\vec {n}}{c}}\wedge {\vec {E}}}$

Où on retrouve ${\displaystyle \gamma }$ le facteur de Lorentz, ${\displaystyle {\vec {a}}}$ l'accélération de la particule et ${\displaystyle {\vec {n}}={\frac {\vec {r}}{||r||}}}$ le vecteur radial de la base sphérique. Dans ces expressions on notera que le premier terme lié au champ électrostatique diminue en ${\displaystyle 1/r^{2}}$, il s'exprimera donc en champ proche tandis que le second terme en ${\displaystyle 1/r}$ s'exprimera en champ lointain. La notation ${\displaystyle \left[...\right]_{tr}}$ indique que les valeurs sont évaluées avec un instant retardé ${\displaystyle t_{r}}$ de façon à prendre en compte le temps de propagation du champ jusqu'à l'observateur. Ces différentes caractéristiques transparaissent également dans les équations de Panofsky-Phillips, qui donnent les mêmes expressions sous forme intégrale.

Sur les illustrations ci-contre, on observe le résultat d'un événement qui a eu lieu au centre de la sphère à une distance ${\displaystyle c.t_{r}}$. Durant ce temps ${\displaystyle t_{r}}$, la particule continue son mouvement et n'est donc plus forcement au centre de la sphère au moment de l'observation. Pour les champs engendrés par une accélération non nulle, on remarquera la symétrie axiale du champ par rapport au vecteur accélération lorsqforcémentue ${\displaystyle v\ll c}$ puis la concentration des radiations dans la direction de la trajectoire lorsque ${\displaystyle v\approx c}$^[1].

Note: on rencontre parfois dans la littérature, pour l'expression du champ électrique, ${\displaystyle {\vec {E}}=...+{\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}cr}}...}$, il convient bien de diviser par ${\displaystyle c^{2}}$ le champ électrique lointain comme ci-dessus et non par ${\displaystyle c}$.

A l'ordre le plus bas en ${\displaystyle 1/c}$ le champ magnétique est indépendant de ${\displaystyle {\vec {a}}}$ et a pour expression :

${\displaystyle {\vec {B}}={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}r^{2}}}{\frac {{\vec {v}}\wedge {\vec {n}}}{c^{2}}}+o\left({\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)}$

Le terme ${\displaystyle {\vec {n}}-{\vec {v}}/c}$ dans le premier terme évalue le champ électrostatique comme si la particule continuait son mouvement uniforme pendant ${\displaystyle t_{r}}$. Lorsque la vitesse de la particule est très proche de ${\displaystyle c}$, celle-ci se trouve alors quasiment sur le front d'onde, donc très proche de l'observation, générant un champ important. À l’extérieur de la sphère d'observation, le champ électrique est dans sont état initial (pas de connexion avec l’événement observé). Dans la pratique, on considère que le champ électrostatique d'une particule chargée voyageant à une vitesse très proche de ${\displaystyle c}$ est perpendiculaire à la trajectoire avec une ouverture de ${\displaystyle 1/\gamma }$. Cette approximation est, par exemple, utilisée en physique des hautes énergies pour la modélisation des wakefields^[2].

Des expressions équivalentes pour les champs E et B d'une charge ponctuelle en mouvement arbitraire ont été données dans les années 1950 par Richard Feynman dans le cadre de son cours de physique^[3] :

${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {-q}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left[{\frac {\mathbf {e} _{r'}}{r'^{2}}}+{\frac {r'}{c}}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\mathbf {e} _{r'}}{r'^{2}}}\right)+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}\mathbf {e} _{r'}\right]}$

${\displaystyle \mathbf {B} =-\mathbf {e} _{r'}\wedge {\frac {\mathbf {E} }{c}}}$

Ces formules ont été établies par Oliver Heaviside en 1902, et furent redécouvertes indépendamment par Richard Feynman aux environs de 1950^[4].

Ces expressions découlent elles aussi des potentiels de Liénard-Wiechert.

En régime stationnaire, les potentiels V et A créés par une charge ponctuelle q se réduisent à :

${\displaystyle V={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}r}}\,}$

${\displaystyle \mathbf {A} ={\frac {q\,\mathbf {v} }{4\pi \varepsilon _{0}c^{2}r}}\,}$

Les champs électrique et magnétique qui en découlent sont donnés par :

${\displaystyle \mathbf {E} =-{\boldsymbol {\operatorname {grad} }}\!\left(V\right)}$

${\displaystyle \mathbf {B} ={\boldsymbol {\operatorname {rot} }}\!\left(\mathbf {A} \right)}$

ce qui conduit à la loi de Coulomb pour le champ E et à la loi de Biot et Savart pour le champ B :

${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {q\,\mathbf {n} }{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}}\,}$

${\displaystyle \mathbf {B} ={\frac {q\left(\mathbf {v} \wedge \mathbf {n} \right)}{4\pi \varepsilon _{0}c^{2}r^{2}}}\,}$

Il est possible de modéliser la collision entre deux particules relativistes à l'aide du potentiel de Liénard -Wiechert. Le problème s'appelle le problème à 2 corps électromagnétiques^[5],[6]. On résout alors les équations :

${\displaystyle m_{1}{\frac {\mathrm {d} {\vec {v_{1}}}}{\mathrm {d} t}}=q_{1}\left({\vec {E_{2}}}+{\vec {v_{1}}}\wedge {\vec {B_{2}}}\right)}$

${\displaystyle m_{2}{\frac {\mathrm {d} {\vec {v_{2}}}}{\mathrm {d} t}}=q_{2}\left({\vec {E_{1}}}+{\vec {v_{2}}}\wedge {\vec {B_{1}}}\right)}$

Les champs ${\displaystyle E_{1}}$,${\displaystyle E_{2}}$,${\displaystyle B_{1}}$ et ${\displaystyle B_{2}}$ dérivant des potentiels de Liénard -Wiechert ci-dessus.

On peut montrer que l'expression exacte du champ de force engendré par une particule créant un potentiel de Liénard -Wiechert est ^[7] :

${\displaystyle {\vec {F}}/q={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {r}{({\vec {r}}\cdot {\vec {u}})^{3}}}\left\{\left[(c^{2}-v^{2}){\vec {u}}+{\vec {r}}\wedge ({\vec {u}}\wedge {\vec {a}})\right]+{\frac {\vec {v}}{c}}\wedge \left[{\vec {r}}\wedge \left[(c^{2}-v^{2}){\vec {u}}+{\vec {r}}\wedge ({\vec {u}}\wedge {\vec {a}})\right]\right]\right\}}$

où on a posé ${\displaystyle {\vec {u}}=c{\frac {\vec {r}}{||r||}}-{\vec {v}}}$. Notons que les grandeurs ${\displaystyle {\vec {u}}}$,${\displaystyle {\vec {v}}}$,${\displaystyle {\vec {a}}}$ et ${\displaystyle {\vec {r}}}$ sont évalués avec un instant retardé.

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