Primitives de fonctions exponentielles

Cet article présente une liste de primitives usuelles de fonctions exponentielles.

La constante d'intégration peut être ajoutée à chacune de ces formules. Sauf mention contraire, on utilise ${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {R} }$.

Intégrale de l'exponentielle

${\displaystyle \int \mathrm {e} ^{ax+b}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{a}}\mathrm {e} ^{ax+b}}$ avec ${\displaystyle a\neq 0}$.

Intégrale du quotient de l'exponentielle sur ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \int {\frac {\mathrm {e} ^{ax}}{x}}\,\mathrm {d} x=\ln |x|+\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {(ax)^{n}}{n!\cdot n}}}$^[1].

Intégrale du quotient de l'exponentielle sur une puissance de ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \int {\frac {\mathrm {e} ^{ax}}{x^{n}}}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{n-1}}\left(-{\frac {\mathrm {e} ^{ax}}{x^{n-1}}}+a\int {\frac {\mathrm {e} ^{ax}}{x^{n-1}}}dx\right)}$ avec ${\displaystyle n\in \mathbb {R} \setminus \{1\}}$.

Intégrale du produit de l'exponentielle et d'une puissance de ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \int x^{n}\mathrm {e} ^{ax}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{a}}x^{n}\mathrm {e} ^{ax}-{\frac {n}{a}}\int x^{n-1}\mathrm {e} ^{ax}\,\mathrm {d} x}$ avec ${\displaystyle n\in \mathbb {R} \setminus \{-1\}}$.

Inverses d'exponentielles

${\displaystyle \int {\frac {1}{1+\mathrm {e} ^{ax}}}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{a}}\ln \left|{\frac {\mathrm {e} ^{ax}}{1+\mathrm {e} ^{ax}}}\right|}$ avec ${\displaystyle a\neq 0}$,

${\displaystyle \int {\frac {1}{b+c\,\mathrm {e} ^{ax}}}\,\mathrm {d} x={\frac {x}{b}}-{\frac {1}{ab}}\ln \left|b+c\,\mathrm {e} ^{ax}\right|}$ avec ${\displaystyle a\neq 0,b\neq 0,c\neq 0}$,

${\displaystyle \int {\frac {\mathrm {e} ^{ax}}{b+c\,\mathrm {e} ^{ax}}}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{ac}}\ln \left|b+c\,\mathrm {e} ^{ax}\right|}$^[2] avec ${\displaystyle a\neq 0,b\neq 0,c\neq 0}$.

Intégrale du produit de l'exponentielle et du logarithme népérien

${\displaystyle \int \mathrm {e} ^{ax}\ln x\,\mathrm {d} x={\frac {1}{a}}\mathrm {e} ^{ax}\ln |x|-{\frac {1}{a}}\int {\frac {\mathrm {e} ^{ax}}{x}}\,\mathrm {d} x}$ avec ${\displaystyle a\neq 0}$.

Intégrale du produit de l'exponentielle et d'un polynôme

Soit ${\displaystyle P}$ une fonction polynomiale. On note ${\displaystyle P'}$ sa dérivée.

${\displaystyle \int P(x)\mathrm {e} ^{ax}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{a}}P(x)\mathrm {e} ^{ax}-{\frac {1}{a}}\int P^{\prime }(x)\mathrm {e} ^{ax}\,\mathrm {d} x}$ avec ${\displaystyle a\neq 0}$.

• (en) Milton Abramowitz et Irene Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables [détail de l’édition] (lire en ligne).

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