Problème de Brocard

Le problème de Brocard est un problème de théorie des nombres consistant à trouver des valeurs entières de ${\displaystyle n}$ et ${\displaystyle m}$ solutions de l'équation diophantienne :

${\displaystyle n!+1=m^{2}}$,

où ${\displaystyle n!}$ est la factorielle de ${\displaystyle n}$. Il a été posé par Henri Brocard dans deux articles de 1876 et 1885, et reposé indépendamment en 1913 par Srinivasa Ramanujan.

Les couples d'entiers ${\displaystyle (n,m)}$ solutions du problème de Brocard sont appelés des nombres de Brown. Il n'y a que trois couples connus de nombres de Brown : (4,5), (5,11) et (7,71) ; voir  A181896.

Paul Erdős a conjecturé qu'il n'existe pas d'autres solutions. Overholt, en 1993, a montré qu'il n'y a qu'un nombre fini de solutions, à condition que la conjecture abc soit vraie. Berndt et Galway en 2000 ont effectué des calculs pour ${\displaystyle n}$ ＜ 10⁹ et n'ont trouvé aucune solution supplémentaire. Matson a affirmé en 2017 avoir étendu ces calculs à 10¹². En 2020, ces calculs (utilisant la détermination de résidus quadratiques modulo de grands nombres premiers) ont été étendus à 10¹⁵ par Epstein et Glickman^[1].

Dabrowski a généralisé le résultat d'Overholt en 1996 en montrant qu'il découlerait de la conjecture abc que

${\displaystyle n!+A=k^{2}}$

ne possède seulement qu'un nombre fini de solutions, pour un nombre entier donné ${\displaystyle A}$. Ce résultat a été encore généralisé par Luca (2002), qui a montré (en supposant encore une fois la conjecture abc réalisée) que l'équation

${\displaystyle n!=P(x)}$

a seulement un nombre fini de solutions entières pour un polynôme donné ${\displaystyle P}$ de degré au moins 2 à coefficients entiers.

Cushinge et Pascoe ont montré en 2016 qu'il découlerait de la conjecture abc que

${\displaystyle n!+K=m,}$

a seulement un nombre fini de solutions, où ${\displaystyle K}$ est un nombre entier et ${\displaystyle m=a^{2}b^{3}}$ est un nombre puissant.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Brocard's problem » (voir la liste des auteurs).

• Bruce C. Berndt et William F. Galway, « The Brocard–Ramanujan diophantine equation n! + 1 = m² », The Ramanujan Journal, 1409 West Green Street,Urbana, Illinois 61801, USA, Department of Mathematics, University of Illinois, vol. 4, n^o 1,‎ mars 2000, p. 41–42 (DOI 10.1023/A:1009873805276, présentation en ligne, lire en ligne).
• H. Brocard, « Question 166 », Nouvelle Correspondance Mathématique, vol. 2,‎ 1876 (présentation en ligne).
• H. Brocard, « Question 1532 », Nouvelles Annales de Mathématiques, vol. 4,‎ 1885 (présentation en ligne).
• A. Dabrowski, « On the Diophantine Equation x! + A = y² », Nieuw Archief voor Wiskunde, vol. 14,‎ janvier 1996, p. 321–324 (présentation en ligne).
• R. K. Guy, Unsolved Problems in Number Theory, New York, Springer-Verlag, 1994, 2^e éd. (ISBN 0-387-90593-6), « D25: Equations Involving Factorial », p. 193–194.
• Florian Luca, « The diophantine equation P(x) = n! and a result of M. Overholt », Glasnik Matematički, vol. 37,‎ 2002, p. 269–273 (lire en ligne).
• Abderrahim Makki Naciri, « On the variant Q(n!)=P(x) of The Brocard-Ramanujan Diophantine equation », Ramanujan journal, vol. 65,‎ 2024, p. 1791–1798 (lire en ligne).
• Robert Matson, « Brocard’s Problem 4th Solution Search Utilizing Quadratic Residues », Unsolved Problems in Number Theory, Logic and Cryptography,‎ 2017 (lire en ligne).
• Marius Overholt, « The diophantine equation n! + 1 = m² », Bulletin of the London Mathematical Society, vol. 25, n^o 2,‎ 1993, p. 104 (DOI 10.1112/blms/25.2.104).
• (en) David Cushing et James Elrded Pascoe, « Powerful numbers and the ABC-conjecture », 2016..

• Ed Copeland, « Brown Numbers », Numberphile, sur Numberphile, Brady Haran

• Arithmétique et théorie des nombres