Propriété de la moyenne

En analyse mathématique, la propriété de la moyenne caractérise les fonctions harmoniques.

• Soient ${\displaystyle u}$ une fonction harmonique sur un ouvert ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ et ${\displaystyle {\overline {B(x,R)}}}$ une boule fermée incluse dans cet ouvert. Alors, la valeur de ${\displaystyle u}$ au centre ${\displaystyle x}$ de cette boule est égale à la valeur moyenne de ${\displaystyle u}$ à sa surface. Cette valeur ${\displaystyle u(x)}$ est donc aussi égale à la valeur moyenne de ${\displaystyle u}$ à l'intérieur de la boule. Autrement dit :${\displaystyle u(x)={\frac {1}{n\omega _{n}r^{n-1}}}\int _{\partial B(x,r)}u\,d\sigma ={\frac {1}{\omega _{n}r^{n}}}\int _{B(x,r)}u\,dV}$^[1],où ${\displaystyle \omega _{n}}$ désigne le volume de la boule unité de dimension ${\displaystyle n}$ et ${\displaystyle \sigma }$ la mesure de surface sur la ${\displaystyle n-1}$-sphère bordant ${\displaystyle B(x,R)}$.
• Réciproquement^[2], une fonction ${\displaystyle u}$ continue sur ${\displaystyle \Omega }$ est harmonique dès qu'elle vérifie la propriété de la moyenne, c'est-à-dire dès que :

${\displaystyle \forall {\overline {B(x,R)}}\subset \Omega \quad u(x)={\frac {1}{n\omega _{n}r^{n-1}}}\int _{\partial B(x,r)}u\,d\sigma }$.

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