Pyramide à base carrée

Pyramide à base carrée
Type	Pyramide J92 - J1 - J2
Sommets	5
Arêtes	8
Faces	(nombre : 5) 4 t + 1 c
Configuration faciale	4 de 32.4 1 de 34
Groupe symétrique	C4v
Dual	Elle-même
Propriétés	convexe

En géométrie, une pyramide à base carrée, ou pyramide carrée, est une pyramide ayant une base carrée (et quatre faces latérales triangulaires).

Si les quatre faces latérales sont équilatérales, la pyramide est un solide de Johnson (J₁), et peut être pensée comme la moitié d'un octaèdre régulier.

Plus généralement, lorsque les quatre faces latérales sont isocèles, on parle de pyramide carrée régulière (bien que ce ne soit pas un polyèdre régulier) ou de pyramide carrée droite. La pyramide de Khéops en est un exemple.

Certaines molécules peuvent avoir une géométrie moléculaire pyramidale à base carrée.

Une pyramide carrée régulière est caractérisée par sa hauteur ${\displaystyle h}$ et sa longueur de base ${\displaystyle a}$ ; la pente d'une face latérale par rapport à la base est donc de ${\displaystyle {\frac {2h}{a}}}$.

Le centre de masse ce trouve au quart de la hauteur en partant de la base.

D'après Hérodote, les proportions de la pyramide de Khéops sont telles que le carré construit sur la hauteur a une aire égale à celle d'une face latérale^[1]. Cette citation est probablement apocryphe^[2], mais elle conduit à une pente ${\displaystyle {\frac {2h}{a}}={\sqrt {\varphi }}}$, où ${\displaystyle \varphi }$ est le nombre d'or, or ${\displaystyle {\sqrt {\varphi }}\approx 14/11}$, pente choisie par les constructeurs de la pyramide ; de plus ${\displaystyle {\frac {2a}{h}}={\frac {4}{\sqrt {\varphi }}}\approx {\frac {22}{7}}}$ est une valeur approchée de ${\displaystyle \pi }$. Le triangle formé par la hauteur et une arête est alors un triangle de Kepler.

	cas général	sixième de cube ${\displaystyle h={\frac {a}{2}}=0,5a}$	Khéops théorique ${\displaystyle h={\sqrt {\varphi }}/2\cdot a\approx 0,636a}$	solide de Johnson (demi-octaèdre) : ${\displaystyle h=a/{\sqrt {2}}\approx 0,707a}$	cube raboté (sommet = centre d'une face, base = face opposée) : ${\displaystyle h=a}$
longueur d’arête latérale	${\displaystyle {\sqrt {{\frac {a^{2}}{2}}+h^{2}}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}a}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\sqrt {\varphi +2}}\cdot a\approx 0,95a}$	${\displaystyle a}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {5}}{2}}a}$
hauteur des faces latérales (apothème)	${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}+4h^{2}}}}$	${\displaystyle {\frac {a}{\sqrt {2}}}}$	${\displaystyle {\frac {\varphi }{2}}a}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}a}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {3}{2}}}a}$
angle au sommet des faces latérales	${\displaystyle 2\operatorname {arccot} {\sqrt {1+4{\frac {h^{2}}{a^{2}}}}}}$ ${\displaystyle =\arccos {\frac {2h^{2}}{a^{2}+2h^{2}}}}$	${\displaystyle 2\operatorname {arccot} {\sqrt {2}}}$${\displaystyle =\arccos {\frac {1}{3}}\approx 70^{\circ }32'}$supplémentaire de l'angle tétraédrique	${\displaystyle 2\operatorname {arccot} \varphi =\arctan 2}$ ${\displaystyle =\arccos {\frac {1}{\sqrt {5}}}\approx 63^{\circ }26'}$  A105199	${\displaystyle {\frac {\pi }{3}}=60^{\circ }}$	${\displaystyle 2\operatorname {arccot} {\sqrt {5}}}$ ${\displaystyle =\arccos {\frac {2}{3}}\approx 48^{\circ }11'}$  A228496
aire des faces latérales	${\displaystyle {\frac {a}{4}}{\sqrt {a^{2}+4h^{2}}}}$	${\displaystyle {\frac {a^{2}}{2{\sqrt {2}}}}}$	${\displaystyle {\frac {\varphi }{4}}a^{2}=h^{2}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {6}}{4}}a^{2}}$
aire totale	${\displaystyle a(a+{\sqrt {a^{2}+4h^{2}}})}$	${\displaystyle (1+{\sqrt {2}})a^{2}}$	${\displaystyle \varphi ^{2}a^{2}}$	${\displaystyle (1+{\sqrt {3}})a^{2}}$	${\displaystyle (1+{\sqrt {5}})a^{2}}$
volume	${\displaystyle {\frac {1}{3}}a^{2}h}$	${\displaystyle {\frac {a^{3}}{6}}}$	${\displaystyle {{\sqrt {\varphi }} \over 6}a^{3}}$	${\displaystyle {{\sqrt {2}} \over 6}a^{3}}$	${\displaystyle {\frac {a^{3}}{3}}}$
angle dièdre base face latérale	${\displaystyle \theta _{b}=\arctan {\frac {2h}{a}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=45^{\circ }}$	${\displaystyle \arctan {\sqrt {\varphi }}\approx 51^{\circ }50'}$  A195692	${\displaystyle \arctan {\sqrt {2}}\approx 54^{\circ }44'}$, angle magique	${\displaystyle \arctan {2}\approx 63^{\circ }26'}$ A105199
angle dièdre entre deux faces latérales	${\displaystyle \theta _{l}=\arccos \left({\tfrac {-a^{2}}{a^{2}+4h^{2}}}\right)}$${\displaystyle \cos \theta _{l}=-\cos ^{2}\theta _{b}}$	${\displaystyle {\frac {2\pi }{3}}=120^{\circ }}$	${\displaystyle \arccos \left(-{\frac {1}{\varphi ^{2}}}\right)\approx 112^{\circ }27'}$	${\displaystyle \arccos \left(-{\frac {1}{3}}\right)\approx 109^{\circ }28'}$, angle tétraédrique	${\displaystyle \arccos \left(-{\frac {1}{5}}\right)\approx 101^{\circ }32'}$
angle dièdre entre deux faces latérales opposées	${\displaystyle \pi -2\theta _{b}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=90^{\circ }}$	${\displaystyle \pi -2\arctan {\sqrt {\varphi }}}$	${\displaystyle \arccos {\frac {1}{3}}\approx 70^{\circ }32'}$	${\displaystyle \pi -2\arctan {2}\approx 53^{\circ }7'}$
angle solide au sommet	${\displaystyle 4\theta _{l}-2\pi }$${\displaystyle =4\arcsin \left({\tfrac {a^{2}}{a^{2}+4h^{2}}}\right)}$	${\displaystyle {\frac {2\pi }{3}}=120^{\circ }}$	${\displaystyle 4\arcsin {\frac {1}{\varphi ^{2}}}}$	${\displaystyle 4\arcsin {\frac {1}{3}}\approx 77^{\circ }53'}$	${\displaystyle 4\arcsin {\frac {1}{5}}\approx 46^{\circ }9'}$
ordonnée du centre de la sphère circonscrite	${\displaystyle \left({\frac {1}{2}}-{\frac {a^{2}}{4h^{2}}}\right)h}$	${\displaystyle -{\frac {h}{2}}}$	${\displaystyle \left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{\varphi }}\right)h}$	0	${\displaystyle {\frac {h}{4}}}$ (= ordonnée du centre de masse)

• Coupe pentagonale de la pyramide régulière à base carrée

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