Racine carrée de l'identité

Racine carrée de un

Un élément ${\displaystyle g}$ d'un groupe ${\displaystyle G}$ est une racine carrée de l'identité si son carré ${\displaystyle gg}$ (en notant la loi de composition du groupe comme une multiplication, l'identité étant alors notée ${\displaystyle I}$ ou 1) est égal à ${\displaystyle I}$. L'identité elle-même est une telle racine carrée, mais il peut en exister d'autres.

Exemple : dans le groupe ${\displaystyle \mathbb {Q} \setminus \{0\}}$ des nombres rationnels non nuls ou celui, ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}$, des nombres réels non nuls, les racines carrées de l'identité sont 1 et −1.

Exemple : dans le groupe alterné ${\displaystyle A_{4}}$ (d'ordre 12), la permutation ${\displaystyle (12)(34)}$ est une racine carrée de l'identité ; ${\displaystyle A_{3}}$ (d'ordre 3), en revanche, n'a pas d'autre racine carrée de l'identité que l'identité elle-même^[1].

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