Rayon spectral

En algèbre linéaire et en analyse fonctionnelle, le rayon spectral d'un endomorphisme ${\displaystyle A}$ est le rayon de la plus petite boule fermée de centre 0 contenant toutes les valeurs spectrales de ${\displaystyle A}$. Il est généralement noté ${\displaystyle \rho (A)}$.

Soit ${\displaystyle A\in M_{n}(\mathbb {C} )}$, en notant ${\displaystyle \sigma (A)}$ l'ensemble des valeurs propres de ${\displaystyle A}$, le rayon spectral de ${\displaystyle A}$ est défini par : $${\displaystyle \rho (A)=\max\{|\lambda |,\lambda \in \sigma (A)\}}$$

Dans un cadre plus général, si ${\displaystyle T}$ est un opérateur borné sur un espace de Banach est : $${\displaystyle \rho (T)=\sup\{|\lambda |,\lambda \in \sigma (T)\}}$$

Pour toute norme matricielle ${\displaystyle N}$ on a ${\displaystyle \rho (A)\leq N(A)}$.

De plus, on montre que ${\displaystyle \rho (A)=\inf N(A)}$, la borne inférieure étant prise sur l'ensemble des normes subordonnées donc a fortiori sur l'ensemble des normes matricielles.

Le rayon spectral peut être strictement inférieur à la norme d'opérateur. Par exemple la matrice ${\displaystyle M={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}}$ a un rayon spectral 0, mais ${\displaystyle M\neq 0}$ donc ${\displaystyle \|M\|>0=\rho (M)}$ (plus précisément, ${\displaystyle \|M\|=1}$ car nous avons ${\displaystyle \|M\|^{2}=\|^{\operatorname {t} }M\ M\|=\rho (^{\operatorname {t} }M\ M)=1}$).

Le théorème de Gelfand nous dit que le rayon spectral ${\displaystyle \rho (A)}$ d'un endomorphisme ${\displaystyle A}$ est donné par la formule ${\displaystyle {\rho (A)}=\lim _{+\infty }\|A^{n}\|^{1/n}}$.

Pour un opérateur normal (en particulier pour un opérateur autoadjoint) sur un espace de Hilbert H, le rayon spectral est égal à la norme d'opérateur. On en déduit que pour tout opérateur A sur H, ${\displaystyle \|A\|^{2}=\rho (A^{*}A)}$.

En analyse numérique, le rayon spectral est utilisé dans l’étude de la convergence d’algorithmes itératifs (Méthode de Jacobi, etc.)

• (en) Peter D. Lax, Functional Analysis, Wiley-Interscience, coll. « Pure and applied mathematics », 2002, 608 p.

• Norme d'opérateur
• Spectre d'un opérateur linéaire

• (en) Eric W. Weisstein, « Spectral Radius », sur MathWorld
• « Rayon spectral », sur Bibmath (consulté le 21 septembre 2025).

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