Somme de Jacobsthal

En mathématiques, les sommes de Jacobsthal sont des sommes finies de symboles de Legendre apparentées aux sommes de Gauss. Elles ont été introduites par Jacobsthal en 1907 pour étudier les représentations d'un nombre premier congru à 1 modulo 4 comme somme de deux carrés.

Soit p un nombre premier. La somme de Jacobsthal de module p évaluée en un entier a est définie par

${\displaystyle \phi _{n}(a)=\sum _{m{\bmod {p}}}\left({\dfrac {m(m^{n}+a)}{p}}\right)}$,

où ${\displaystyle \left({\frac {*}{p}}\right)}$ désigne le symbole de Legendre modulo p.

• Bruce C. Berndt et Ronald J. Evans, « Sums of Gauss, Eisenstein, Jacobi, Jacobsthal, and Brewer », Illinois Journal of Mathematics, vol. 23, n^o 3,‎ 1979, p. 374-437 (ISSN 0019-2082, DOI 10.1016/0022-314X(79)90008-8, MR 537798, zbMATH 0393.12029, lire en ligne)
• Ernst Jacobsthal, « Über die Darstellung der Primzahlen der Form 4n + 1 als Summe zweier Quadrate », Journal für die reine und angewandte Mathematik, vol. 132,‎ 1907, p. 238-246 (ISSN 0075-4102, JFM 38.0238.03, lire en ligne)
• Thomas Storer, Cyclotomy and difference sets, Chicago, Markham Publishing Company, coll. « Lectures in advanced mathematics » (n^o 2), 1967, 134 p. (ISSN 0075-8477, zbMATH 0157.03301)

• Théorème des deux carrés de Fermat
• Symbole de Legendre
• Somme de Gauss

• Arithmétique et théorie des nombres