Sous-matrice

Une sous-matrice ou matrice extraite est une matrice obtenue à partir d'une matrice en ne gardant que certaines lignes ou colonnes^[1].

Par exemple

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\end{pmatrix}}}$

Alors

${\displaystyle A_{\{1,2\}\{1,3,4\}}={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{23}&a_{24}\end{pmatrix}}}$

est une sous-matrice de A constituée des lignes 1 et 2, et des colonnes 1,3 et 4. Nous pouvons dire aussi que cette sous-matrice est formée en supprimant la ligne 3 et la colonne 2.

Il n'y a pas de notation normalisée pour désigner une sous-matrice - aussi les conventions de notations seront toujours précisées.

Si une matrice ${\displaystyle A}$ est de rang ${\displaystyle r}$ alors toute sous-matrice de ${\displaystyle A}$ est de rang au plus ${\displaystyle r}$.

Une matrice symétrique est définie positive si et seulement si les valeurs propres des sous-matrices principales sont toutes positives^[2].

• Alfio Quarteroni, Ricardo Sacco, Fausto Saleri et Jean-Frédéric Gerbeau, Méthodes Numériques: Algorithmes, analyse et applications, Springer, 2007 (ISBN 978-88-470-0496-2)

• Mineur (algèbre linéaire)

• (en) Eric W. Weisstein, « Submatrix », sur MathWorld

• Portail des mathématiques