Span (théorie des catégories)

En théorie des catégories, un span est une généralisation de la notion de relation entre deux objets d'une catégorie.

Lorsque la catégorie possède les produits fibrés (et satisfait un petit nombre d'autres conditions), les spans peuvent être considérés comme des morphismes dans une catégorie de fractions.

La notion de span est due à Nobuo Yoneda (1954) et Jean Bénabou (1967).

Un span est un diagramme de la forme ${\displaystyle B{\overset {f}{\leftarrow }}A{\overset {g}{\rightarrow }}C}$, c'est-à-dire deux morphismes ayant un domaine commun. Formellement, c'est un foncteur ${\displaystyle D:J\rightarrow C}$ d'une catégorie ${\displaystyle J}$ de la forme ${\displaystyle \bullet \leftarrow \bullet \rightarrow \bullet }$ dans une certaine catégorie ${\displaystyle C}$.

La colimite d'un span est une somme amalgamée.

• Si ${\displaystyle R}$ est une relation entre les ensembles ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle B}$ (c'est-à-dire un sous-ensemble de ${\displaystyle A\times B}$ ), alors ${\displaystyle A{\overset {\pi _{A}}{\leftarrow }}R{\overset {\pi _{B}}{\rightarrow }}B}$ est un span, dont les morphismes sont les projections ${\displaystyle \pi _{A}:A\times B\to A}$ et ${\displaystyle \pi _{B}:A\times B\to B}$.
• Le span trivial ${\displaystyle A{\overset {id}{\leftarrow }}A{\overset {id}{\rightarrow }}A}$
• Plus généralement, pour tout morphisme ${\displaystyle f\colon A\to B}$, il existe deux spans ${\displaystyle A{\overset {id}{\leftarrow }}A{\overset {f}{\rightarrow }}B}$ et ${\displaystyle A{\overset {f}{\leftarrow }}B{\overset {id}{\rightarrow }}B}$.
• Si ${\displaystyle M}$ est une catégorie de modèles, avec ${\displaystyle W}$ l'ensemble des équivalences faibles, alors les spans de la forme ${\displaystyle B{\overset {f}{\leftarrow }}A{\overset {g}{\rightarrow }}C}$ tels que ${\displaystyle f\in W}$, peuvent être considérés comme des morphismes généralisés (c'est-à-dire qui « inversent les équivalences faibles »). Il convient de noter que ce point de vue diffère de l'approche habituelle adoptée pour les catégories modèles.

Un cospan est un diagramme de la forme ${\displaystyle B{\overset {f}{\rightarrow }}A{\overset {g}{\leftarrow }}C}$, c'est-à-dire deux morphismes ayant un codomaine commun. Il s'agit de la notion duale du span.

La limite d'un cospan est un produit fibré.

Un exemple de cospan est un cobordisme ${\displaystyle W}$ entre deux variétés ${\displaystyle M}$ et ${\displaystyle N}$, où les deux morphismes sont les inclusions de ${\displaystyle W}$. Si les cobordismes sont des cospans, la catégorie des cobordismes n'est pas une « catégorie de cospans » : ce n'est pas la catégorie de tous les cospans dans « la catégorie des variétés avec inclusions sur le bord », mais plutôt une sous-catégorie de celle-ci, car l'exigence que ${\displaystyle M}$ et ${\displaystyle N}$ forment une partition du bord de ${\displaystyle W}$ est une contrainte globale.

La catégorie ${\displaystyle \mathbf {nCob} }$ des cobordismes de dimension finie est une catégorie compacte dagger. Plus généralement, la catégorie ${\displaystyle \mathbf {Span} (C)}$ des spans sur toute catégorie ${\displaystyle C}$ à limites finies est également compacte dagger.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Span (category theory) » (voir la liste des auteurs).

• Nobuo Yoneda, « On the homology theory of modules », J. Fac. Sci. Univ. Tokyo Sect. I, vol. 7,‎ 1954, p. 193–227
• Jean Bénabou « Introduction to Bicategories » (1967) (DOI 10.1007/BFb0074299)
  — « (ibid.) », dans Reports of the Midwest Category Seminar, vol. 47, Springer, coll. « Lecture Notes in Mathematics » (ISBN 978-3-540-35545-8), p. 1–77

• Relation binaire
• Produit fibré
• Somme amalgamée
• Cobordisme

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