Suite de Recamán

La suite de Recamán, nommée d'après le mathématicien colombien Bernardo Recamán Santos (es), est une suite d'entiers naturels.

La suite est définie par la récurrence suivante ^[1] :

• ${\displaystyle a_{0}=0}$

Pour tout entier ${\displaystyle n>0}$ :

• ${\displaystyle a_{n}=a_{n-1}-n}$ si ${\displaystyle a_{n-1}\geq n}$ et si ${\displaystyle a_{n-1}-n}$ n'apparaît pas déjà dans la suite;
• sinon ${\displaystyle a_{n}=a_{n-1}+n}$.

Les premiers termes de la suite sont ${\displaystyle 0,1,3,6,2,7,13,20,12,21}$ (suite A005132 de l'OEIS).

Neil Sloane conjecture en 1991 que la suite est surjective, c'est-à-dire que tout nombre entier naturel y figure. En 2017, il indique en être moins sûr. Une recherche par ordinateur permet d'affirmer que le plus petit entier manquant dans les ${\displaystyle 10^{230}}$ premiers termes est ${\displaystyle 852655}$^[1].

La suite n'est pas injective, puisque certains nombres y figurent plusieurs fois. Le premier nombre à figurer deux fois est ${\displaystyle 42}$ en ${\displaystyle a_{20}}$ et ${\displaystyle a_{24}}$.

• (hu) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en hongrois intitulé « Recamán-sorozat » (voir la liste des auteurs).

• (en) Alex Bellos, Here's Looking at Euclid, Free Press (lire en ligne), p. 179.

• (en) Numberphile, « The Slightly Spooky Recamán Sequence », sur YouTube

• Arithmétique et théorie des nombres