Symbole somme

Le symbole somme, noté ${\displaystyle \sum }$, (caractère ∑, « sigma ») est une notation mathématique qui permet de désigner la somme d'une famille finie de termes ou la limite d'une série en évitant l'emploi de points de suspension^[1].

La commutativité et l'associativité de l'addition font que le résultat d'une suite (finie) d'additions ne dépend pas de l'ordre dans lequel les termes sont donnés. La somme d'une famille finie d'éléments ${\displaystyle (u_{i})}$ indexée par un ensemble ${\displaystyle I}$ (pas nécessairement ordonné) se note alors ${\displaystyle \sum _{i\in I}{u_{i}}}$.

Lorsque l'ensemble d'indices est un intervalle d'entiers, il est courant de noter le premier indice sous le symbole somme et le dernier au-dessus. On trouve alors les notations :

${\displaystyle \sum _{i\in [[p;q]]}{u_{i}}=\sum _{i=p}^{i=q}{u_{i}}=\sum _{i=p}^{q}{u_{i}}.}$

Le nombre de termes est alors ${\displaystyle q-p+1}$, le premier terme étant ${\displaystyle u_{p}}$ et le dernier ${\displaystyle u_{q}}$.

La somme des carrés des six premiers entiers strictement positifs s'écrit ainsi

${\displaystyle \sum _{i=1}^{6}{i^{2}}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}.}$

Lorsque la famille décrit un ensemble fini ${\displaystyle A}$, la somme peut aussi s'écrire

${\displaystyle \sum _{x\in A}{x}=\sum A,}$

la somme vide étant conventionnellement prise égale à zéro, afin de satisfaire l'égalité

${\displaystyle \sum {A\cup B}=\sum A+\sum B-\sum {A\cap B}.}$

La notation d'Einstein omet simplement l'écriture du symbole somme. Il est sous-entendu dès qu'un indice apparaît sans définition.

Si ${\displaystyle (u_{n})}$ est une suite, la somme totale des termes de la suite est la limite des sommes partielles si elle existe ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }u_{n}=\lim _{N\rightarrow +\infty }\sum _{n=0}^{N}u_{n}}$.

Le caractère utilisé est distinct de la lettre grecque majuscule Σ (sigma).

Le symbole somme a été introduit pour la première fois par Leonhard Euler dans son traité Institutiones Calculi differentialis en 1755, en même temps que la notation Δ pour les différences^[2]. Bien que repris par Lagrange par la suite, elle mettra du temps à s'imposer^[3].

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