Système d'Euler

En mathématiques, un système d'Euler est un objet technique dans la théorie des représentations galoisiennes, mis en évidence aux environs de 1990 par Victor Kolyvagin dans son travail sur les points de Heegner sur les courbes elliptiques modulaires. Ce concept a fait ensuite l'objet d'un développement axiomatique, en particulier par Barry Mazur et Karl Rubin.

Il existe une motivation générale pour l'utilisation des systèmes d'Euler, en ce qu'ils sont supposés être essentiellement des familles d'éléments de groupes de cohomologie galoisienne, et qu'ils permettent de « contrôler » ou de borner le groupe de Selmer (en), dans différents contextes. Selon les idées généralement acceptées, un tel contrôle permet d'étudier les fonctions L, à travers leurs valeurs à des points particuliers. La vertu des systèmes d'Euler est qu'ils peuvent fonctionner comme objet intermédiaire, se plaçant entre l'étude des fonctions L, qui sont des objets profonds, et les groupes de Selme,r qui sont les objets directs de la géométrie diophantienne. La théorie est encore en développement ; en substance, il est prévu de l'appliquer aux extensions abéliennes, organisées en tours infinies, et leurs groupes de Galois profinis. Le concept de système d'Euler est supposé définir exactement l'idée de système cohérent de classes cohomologiques dans une telle tour, avec le respect de certaines applications de changement de niveau de type de Norme générale, en présence d'un principe local-global.

L'idée des système d'Euler a été utilisé de manière célèbre dans la première tentative avortée de démonstration d'Andrew Wiles du dernier théorème de Fermat. Karl Rubin les a utilisés pour redémontrer de manière plus élémentaire la conjecture principale de la théorie d'Iwasawa, initialement prouvée par Barry Mazur et Andrew Wiles.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Euler system » (voir la liste des auteurs).
• (en) Karl Rubin, Euler Systems, Princeton University Press, coll. « Annals of Mathematics Studies » (n^o 147), 2000

(en) Plusieurs papiers sur les systèmes de Kolyvagin sont disponibles sur la page Web de Barry Mazur.

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