Théorème d'Anne

En géométrie euclidienne, le théorème d'Anne donne une condition d'appartenance à la droite de Newton d'un quadrilatère convexe en termes d'aires de certains triangles. Ce théorème porte le nom du mathématicien français Pierre-Léon Anne (1806-1850)^[1].

Le théorème s'énonce de la façon suivante. Soit ABCD un quadrilatère convexe dont les diagonales sont ${\displaystyle (AC)}$ et ${\displaystyle (BD)}$ et qui n'est pas un parallélogramme. Soient E et F les milieux des diagonales et soit L un point quelconque à l'intérieur de ABCD, de sorte que L forme quatre triangles avec les côtés de ABCD. Si les sommes des aires des deux triangles opposés sont égales, c'est-à-dire que$${\displaystyle \left|\triangle BCL\right|+\left|\triangle DAL\right|=\left|\triangle LAB\right|+\left|\triangle DLC\right|,}$$alors le point L appartient à la droite de Newton, c'est-à-dire la droite ${\displaystyle (EF)}$^[1],[2].

Pour un parallélogramme, il n'y a pas de droite de Newton puisque les diagonales s'intersectent en leurs milieux. D'autre part, dans ce cas, l'égalité des sommes des aires du théorème est satisfaite pour tout point à l'intérieur du quadrilatère.

La réciproque est vraie : pour tout point de la droite de Newton situé à l'intérieur du quadrilatère, l'égalité entre les sommes des aires des triangles opposés par le sommet a lieu.

• « Newton's and Léon Anne's Theorems », sur cut-the-knot.org (consulté le 6 mars 2026)
• Andrew Jobbings, « The Converse of Leon Anne's Theorem », sur arbelos.co.uk, 4 mars 2014 (version du 4 mars 2014 sur Internet Archive)
• (en) Eric W. Weisstein, « Leon Anne's Theorem », sur MathWorld

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