Théorème de Bohr-Mollerup

En mathématiques, le théorème de Bohr–Mollerup porte le nom des deux mathématiciens danois Harald Bohr et Johannes Mollerup (de), qui l'ont démontré en 1922^[1].

Il caractérise la fonction gamma définie sur ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{*}}$ (par ${\displaystyle \Gamma (x)=\int _{0}^{+\infty }t^{x-1}\mathrm {e} ^{-t}~\mathrm {d} t}$) comme étant la seule fonction de ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{*}}$ dans ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{*}}$ vérifiant simultanément les trois conditions suivantes :

• ${\displaystyle f(1)=1}$ ;
• ${\displaystyle f(x+1)=xf(x)}$ pour tout ${\displaystyle x\in \mathbb {R} _{+}^{*}}$ ;
• ${\displaystyle f}$ est logarithmiquement convexe (i.e. ${\displaystyle \ln \circ f}$ est une fonction convexe).

Une démonstration particulièrement élégante en a été donnée par Emil Artin^[2].

Ce théorème se généralise à une grande variété de fonctions (ayant des propriétés de convexité ou de concavité de n'importe quel ordre)^[3].

La fonction gamma satisfait classiquement ces trois conditions (la première est immédiate, la deuxième se montre par intégration par parties et la troisième se déduit de l'inégalité de Cauchy-Schwarz).

Soit ${\displaystyle f}$ une fonction qui les satisfait aussi.

Les deux premières conditions permettent d'obtenir, pour tout entier naturel ${\displaystyle n}$ et tout réel ${\displaystyle x>0}$ :

${\displaystyle f(n+1)=n!\quad {\text{et}}\quad f(n+x)=f(x)\prod _{k=0}^{n-1}(x+k).}$

On utilise ensuite la convexité de ${\displaystyle \log(f)}$ pour en déduire :

${\displaystyle \forall u,v>0,\;\forall x\in {}[0,1],\;f{\big (}xu+(1-x)v{\big )}\leqslant f(u)^{x}f(v)^{1-x}.}$

En particulier, pour tout réel ${\displaystyle x\in {}]0,1]}$ et tout entier ${\displaystyle n>0}$ :

• ${\displaystyle f(n+x)=f{\big (}x(n+1)+(1-x)n{\big )}\leqslant f(n+1)^{x}f(n)^{1-x}=n^{x}\;(n-1)!}$
• ${\displaystyle n!=f(n+1)=f{\big (}x(n+x)+(1-x)(n+1+x){\big )}\leqslant f(n+x)^{x}f(n+x+1)^{1-x}=(n+x)^{1-x}~f(n+x).}$

En substituant ${\displaystyle f(n+x)}$, on obtient ainsi l'encadrement suivant pour ${\displaystyle f(x)}$^[4] :

${\displaystyle {\frac {(n+x)^{x-1}~n!}{\prod \limits _{k=0}^{n-1}(x+k)}}\leqslant f(x)\leqslant {\frac {n^{x}~(n-1)!}{\prod \limits _{k=0}^{n-1}(x+k)}}.}$

et (puisque ${\displaystyle \Gamma }$ satisfait les mêmes hypothèses) le même encadrement pour ${\displaystyle \Gamma (x)}$.

Or quand ${\displaystyle n}$ tend vers l'infini, le majorant et le minorant sont équivalents. Par conséquent, ils tendent tous deux vers ${\displaystyle \Gamma (x)}$, auquel ${\displaystyle f(x)}$ est donc égal.

Cette égalité, démontrée pour tout ${\displaystyle x\in {}]0,1]}$, s'étend à tout ${\displaystyle x\in {}]0,+\infty [}$ grâce à la deuxième condition, donc ${\displaystyle f=\Gamma }$.

Cette démonstration prouve de plus que pour tout ${\displaystyle x\in ]0,1]}$, toute suite équivalente aux bornes de l'encadrement ci-dessus tend vers ${\displaystyle \Gamma (x)}$. En particulier :

${\displaystyle \Gamma (x)=\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{x}~n!}{\prod _{0\leqslant k\leqslant n}(x+k)}}.}$

Comme précédemment, cette égalité s'étend à tout ${\displaystyle x\in {}]0,+\infty [}$.

Théorème de Wielandt

• (en) Eric W. Weisstein, « Bohr-Mollerup Theorem », sur MathWorld
• (en) « Proof of Bohr-Mollerup theorem, id6576 », sur PlanetMath

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