Théorème de Borel-Lebesgue

En topologie de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, le théorème de Borel-Lebesgue ou de Heine-Borel établit l'équivalence entre les deux propriétés suivantes^[1] d'un ensemble ${\displaystyle A}$ de vecteurs :

• ${\displaystyle A}$ est fermé et borné (${\displaystyle A}$ est borné s'il existe un réel positif majorant la norme de tous les éléments de ${\displaystyle A}$) ;
• ${\displaystyle A}$ est compact, c'est-à-dire^[2] qu'il vérifie la propriété de Borel-Lebesgue : de tout recouvrement de ${\displaystyle A}$ par des ouverts de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ on peut extraire un sous-recouvrement fini.

L'essentiel du théorème est :

tout fermé borné de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ est compact

car la réciproque est immédiate^[3].

Ce théorème se généralise à tout ${\displaystyle \mathbb {R} }$-espace vectoriel normé de dimension finie mais n'est pas valable en dimension infinie.

• Le segment ${\displaystyle [a\,;b]}$ est compact.
  Soit ${\displaystyle (U_{i})_{i\in I}}$ un recouvrement ouvert du segment ${\displaystyle [a\,;b]}$. On considère l'ensemble ${\displaystyle F}$ des points ${\displaystyle x}$ de ${\displaystyle [a\,;b]}$ tels que ${\displaystyle [a\,;x]}$ est recouvert par un nombre fini d'ouverts ${\displaystyle U_{i}}$. Comme ${\displaystyle F}$ est non vide (il contient ${\displaystyle a}$) et inclus dans ${\displaystyle [a\,;b]}$, il admet une borne supérieure ${\displaystyle m\in [a\,;b]}$. Cette borne ${\displaystyle m}$ appartient à un ${\displaystyle U_{i}}$. Il existe alors ${\displaystyle \varepsilon \in \mathbb {R} _{+}^{*}}$ tel que le segment ${\displaystyle V=[m-\varepsilon \,;m+\varepsilon ]\cap [a\,;b]=:[c\,;d]}$ soit inclus dans ${\displaystyle U_{i}}$. Puisque ${\displaystyle m}$ est adhérent à ${\displaystyle F}$, ${\displaystyle V}$ rencontre ${\displaystyle F}$, en un point ${\displaystyle x}$. En ajoutant U_i au recouvrement fini de ${\displaystyle [a\,;x]}$, on obtient un recouvrement fini de ${\displaystyle [a\,;d]}$, donc ${\displaystyle d\in F}$, donc ${\displaystyle m\geq d=\min(m+\varepsilon \,;b)}$, donc ${\displaystyle b=d\in F}$.
• Un produit fini de segments est compact^[4].
  Ce résultat se déduit du lemme du tube, d'après lequel tout produit fini de compacts est compact^[5].
• Tout fermé borné de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ est compact.
  En effet, c'est un fermé d'un produit de segments donc d'un compact, or tout fermé d'un compact est compact.

Considérons l'espace vectoriel ${\displaystyle \mathbb {R} [X]}$ des polynômes à coefficients réels. On prend pour norme d'un polynôme le maximum des valeurs absolues respectives de ses coefficients. Soit ${\displaystyle B}$ la boule unité fermée. Elle est clairement fermée et bornée. Cependant, les éléments ${\displaystyle X^{n}}$ pour ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ de ${\displaystyle B}$ sont à distance ${\displaystyle 1}$ les uns des autres donc forment une suite sans sous-suite convergente donc ici sans valeur d'adhérence, ce qui empêche ${\displaystyle B}$ d'être compacte.

• (en) N. R. Andre, S. M. Engdahl, A. E. Parker, « An Analysis of the First Proofs of the Heine-Borel Theorem », sur www.maa.org, août 2013 (consulté le 9 juillet 2021)

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