Théorème de Frisch-Waugh

Le théorème de Frisch-Waugh ou théorème de Frisch-Waugh-Lovell est un théorème en économétrie nommé en référence à Ragnar Frisch, Frederick V. Waugh et Michael C. Lovell.

Soit le modèle de régression linéaire suivant :

${\displaystyle Y=X_{1}\beta _{1}+X_{2}\beta _{2}+u\!}$

avec ${\displaystyle X_{1}}$ et ${\displaystyle X_{2}}$ deux matrices de taille ${\displaystyle n\times k_{1}}$ et ${\displaystyle n\times k_{2}}$.

D'après le théorème de Frisch-Waugh, l'estimation du vecteur de coefficients ${\displaystyle \beta _{2}}$ sera la même que dans le modèle linéaire suivant :

${\displaystyle M_{X_{1}}Y=M_{X_{1}}X_{2}\beta _{2}+M_{X_{1}}u\!,}$

avec ${\displaystyle M_{X_{1}}}$ la matrice de projection orthogonale sur le complément orthogonal de l'espace vectoriel engendré par les colonnes de ${\displaystyle X_{1}}$ :

${\displaystyle M_{X_{1}}=I-X_{1}(X_{1}'X_{1})^{-1}X_{1}'.\!}$

Equations normales :

- 1er groupe : ${\displaystyle X_{1}'(y-X_{1}{\hat {\beta }}_{1}-X_{2}{\hat {\beta }}_{2})=0(i)}$

- 2e groupe : ${\displaystyle X_{2}'(y-X_{1}{\hat {\beta }}_{1}-X_{2}{\hat {\beta }}_{2})=0(ii)}$

où ${\displaystyle {\hat {\beta }}_{i}}$ correspond à l'estimateur de la vraie valeur de ${\displaystyle \beta _{i}}$.

On peut trouver grâce à ${\displaystyle (ii)}$ l'expression de ${\displaystyle {\hat {\beta }}_{2}}$ en fonction de ${\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}}$:

${\displaystyle X_{2}'(y-X_{1}{\hat {\beta }}_{1})-X_{2}'X_{2}{\hat {\beta }}_{2}=0\Longleftrightarrow {\hat {\beta }}_{2}=(X_{2}'X_{2})^{-1}X_{2}'(y-X_{1}{\hat {\beta }}_{1})}$

On obtient donc pour ${\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}}$ avec ${\displaystyle (i)}$:

${\displaystyle X_{1}'(y-X_{1}{\hat {\beta }}_{1}-X_{2}(X_{2}'X_{2})^{-1}X_{2}'(y-X_{1}{\hat {\beta }}_{1}))=0}$

${\displaystyle X_{1}'([I_{N}-X_{2}(X_{2}'X_{2})^{-1}X_{2}'](y-X_{1}{\hat {\beta }}_{1}))=0}$, on factorise ${\displaystyle y-X_{1}{\hat {\beta }}_{1}}$.

${\displaystyle X_{1}'(M_{X_{2}}(y-X_{1}{\hat {\beta }}_{1}))=0}$

${\displaystyle X_{1}'M_{X_{2}}y-X_{1}'M_{X_{2}}X_{1}{\hat {\beta }}_{1}=0}$

${\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}=(X_{1}'M_{X_{2}}X_{1})^{-1}X_{1}'M_{X_{2}}y}$

On a donc :

${\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}=(X_{1}'M_{X_{2}}X_{1})^{-1}X_{1}'M_{X_{2}}y}$

${\displaystyle {\hat {\beta }}_{2}=(X_{2}'X_{2})^{-1}X_{2}'(y-X_{1}{\hat {\beta }}_{1})}$

• (en) Ragnar Frisch et Frederick V. Waugh, « Partial Time Regressions as Compared with Individual Trends », Econometrica, vol. 1, n^o 4,‎ 1933, p. 387–401 (JSTOR 1907330)
• (en) Michael Lovell, « Seasonal Adjustment of Economic Time Series and Multiple Regression Analysis », Journal of the American Statistical Association, vol. 58, n^o 304,‎ 1963, p. 993–1010 (DOI 10.1080/01621459.1963.10480682)

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