En mathématiques , le théorème de Neuberg est un résultat de géométrie du triangle .
Illustration du théorème de Neuberg Soit un triangle ABC .
Soit OA le centre du carré extérieur ayant comme côté BC . On construit de façon similaire les points OB et OC .
On construit ensuite MA , le centre du carré intérieur ayant comme côté OB OC .
On construit ainsi MB et MC .
Alors les points MA , MB et MC sont les milieux des côtés du triangle ABC .
On va démontrer le résultat pour MA .
Le théorème d'Al-Kashi appliqué au triangle AOC OB donne :
O
B
O
C
2
=
O
B
A
2
+
O
C
A
2
−
2
×
O
B
A
×
O
C
A
×
cos
(
π
2
+
B
A
C
^
)
=
O
B
A
2
+
O
C
A
2
+
2
×
O
B
A
×
O
C
A
×
sin
B
A
C
^
{\displaystyle \mathrm {O_{B}O_{C}} ^{2}=\mathrm {O_{B}A} ^{2}+\mathrm {O_{C}A} ^{2}-2\times \mathrm {O_{B}A} \times \mathrm {O_{C}A} \times \cos({\dfrac {\pi }{2}}+{\widehat {\mathrm {BAC} }})=\mathrm {O_{B}A} ^{2}+\mathrm {O_{C}A} ^{2}+2\times \mathrm {O_{B}A} \times \mathrm {O_{C}A} \times \sin {\widehat {\mathrm {BAC} }}}
Or d'après le théorème de Pythagore appliqué aux triangles isocèles rectangles AOC B et ACOB :
O
C
A
2
=
O
C
B
2
=
A
B
2
2
{\displaystyle \mathrm {O_{C}A} ^{2}=\mathrm {O_{C}B} ^{2}={\dfrac {\mathrm {AB} ^{2}}{2}}}
O
B
A
2
=
O
B
C
2
=
A
C
2
2
{\displaystyle \mathrm {O_{B}A} ^{2}=\mathrm {O_{B}C} ^{2}={\dfrac {\mathrm {AC} ^{2}}{2}}}
Donc :
O
B
O
C
2
=
1
2
(
A
C
2
+
A
B
2
)
+
A
C
×
A
B
×
sin
B
A
C
^
{\displaystyle \mathrm {O_{B}O_{C}} ^{2}={\dfrac {1}{2}}(\mathrm {AC} ^{2}+\mathrm {AB} ^{2})+\mathrm {AC} \times \mathrm {AB} \times \sin {\widehat {\mathrm {BAC} }}}
Le théorème de Pythagore appliqué au triangle MA OC OB donne :
M
A
O
C
2
=
1
4
(
A
C
2
+
A
B
2
)
+
1
2
A
C
×
A
B
×
sin
B
A
C
^
{\displaystyle \mathrm {M_{A}O_{C}} ^{2}={\dfrac {1}{4}}(\mathrm {AC} ^{2}+\mathrm {AB} ^{2})+{\dfrac {1}{2}}\mathrm {AC} \times \mathrm {AB} \times \sin {\widehat {\mathrm {BAC} }}}
Enfin le théorème d'Al-Kashi appliqué au triangle BMA OC nous donne :
M
A
O
C
2
=
B
M
A
2
+
B
O
C
2
−
2
×
B
M
A
×
B
O
C
×
cos
O
C
B
M
A
^
{\displaystyle \mathrm {M_{A}O_{C}} ^{2}=\mathrm {BM_{A}} ^{2}+\mathrm {BO_{C}} ^{2}-2\times \mathrm {BM_{A}} \times \mathrm {BO_{C}} \times \cos {\widehat {\mathrm {O_{C}BM_{A}} }}}
Or :
cos
O
C
B
M
A
^
=
cos
(
π
4
+
A
B
C
^
)
=
1
2
(
cos
A
B
C
^
−
sin
A
B
C
^
)
{\displaystyle \cos {\widehat {O_{C}BM_{A}}}=\cos({\dfrac {\pi }{4}}+{\widehat {\mathrm {ABC} }})={\dfrac {1}{\sqrt {2}}}(\cos {\widehat {\mathrm {ABC} }}-\sin {\widehat {\mathrm {ABC} }})}
Ainsi d'après tout ce que l'on sait, BMA satisfait l'équation suivante :
B
M
A
2
−
(
cos
A
B
C
^
−
sin
A
B
C
^
)
×
A
B
×
B
M
A
+
1
4
A
B
2
−
1
4
A
C
2
−
1
2
sin
B
A
C
^
×
A
C
×
A
B
=
0
{\displaystyle \mathrm {BM_{A}} ^{2}-(\cos {\widehat {\mathrm {ABC} }}-\sin {\widehat {\mathrm {ABC} }})\times \mathrm {AB} \times \mathrm {BM_{A}} +{\dfrac {1}{4}}\mathrm {AB} ^{2}-{\dfrac {1}{4}}\mathrm {AC} ^{2}-{\dfrac {1}{2}}\sin {\widehat {\mathrm {BAC} }}\times \mathrm {AC} \times \mathrm {AB} =0}
Qui est de discriminant :
Δ
=
A
B
2
(
1
−
2
cos
A
B
C
^
sin
A
B
C
^
)
−
A
B
2
+
A
C
2
+
2
sin
B
A
C
^
×
A
C
×
A
B
{\displaystyle \Delta =\mathrm {AB} ^{2}(1-2\cos {\widehat {\mathrm {ABC} }}\sin {\widehat {\mathrm {ABC} }})-\mathrm {AB} ^{2}+\mathrm {AC} ^{2}+2\sin {\widehat {\mathrm {BAC} }}\times \mathrm {AC} \times \mathrm {AB} }
Donc en notant HA le pied de la hauteur issue de A et
S
{\displaystyle S}
Δ
=
A
C
2
−
2
A
H
A
×
B
H
A
+
4
S
=
A
H
A
2
+
H
A
C
2
−
2
A
H
A
×
B
H
A
+
2
A
H
A
×
B
C
=
A
H
A
2
+
2
A
H
A
×
H
A
C
+
H
A
C
2
=
(
A
H
A
+
H
A
C
)
2
{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta &=\mathrm {AC} ^{2}-2\mathrm {AH_{A}} \times \mathrm {BH_{A}} +4S\\&=\mathrm {AH_{A}} ^{2}+\mathrm {H_{A}C} ^{2}-2\mathrm {AH_{A}} \times \mathrm {BH_{A}} +2\mathrm {AH_{A}} \times \mathrm {BC} \\&=\mathrm {AH_{A}} ^{2}+2\mathrm {AH_{A}} \times \mathrm {H_{A}C} +\mathrm {H_{A}C} ^{2}\\&=(\mathrm {AH_{A}} +\mathrm {H_{A}C} )^{2}\\\end{aligned}}}
Ainsi la seule solution positive de l'équation vérifiée par BMA est :
B
M
A
=
(
cos
A
B
C
^
−
sin
A
B
C
^
)
×
A
B
+
A
H
A
+
H
A
C
2
=
B
H
A
−
A
H
A
+
A
H
A
+
H
A
C
2
=
B
C
2
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {BM_{A}} &={\dfrac {(\cos {\widehat {\mathrm {ABC} }}-\sin {\widehat {\mathrm {ABC} }})\times \mathrm {AB} +\mathrm {AH_{A}} +\mathrm {H_{A}C} }{2}}\\&={\dfrac {\mathrm {BH_{A}} -\mathrm {AH_{A}} +\mathrm {AH_{A}} +\mathrm {H_{A}C} }{2}}\\&={\dfrac {\mathrm {BC} }{2}}\end{aligned}}}
De la même manière on montre que
C
M
A
=
B
C
2
{\displaystyle \mathrm {CM_{A}} ={\dfrac {\mathrm {BC} }{2}}}
De ces deux égalités on déduit que MA est le milieu de BC.
La démonstration est analogue pour MB et MC .
Voir aussi
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