Théorème de Poynting

Le théorème de Poynting, énoncé par John Henry Poynting, concerne la conservation de l'énergie dans un champ électromagnétique. Il établit une relation entre énergie électromagnétique, effet Joule et le flux du vecteur de Poynting.

En termes informels, on peut dire que le flux du vecteur de Poynting à travers une surface fermée est égal à la somme de la variation d'énergie électromagnétique et de l'effet Joule dans le volume intérieur à la surface.

L'éponyme^[1],[2],[3] du théorème de Poynting^[4],[5],[6] est le physicien anglais John Henry Poynting (1852-1914) qui l'a établi à partir de deux des équations de Maxwell^[7] — celles de Maxwell-Faraday^[5],[8] et de Maxwell-Ampère ^[5],[9] — et l'a publié en 1884^[1],[10].

Le théorème énonce que pour tout volume :

${\displaystyle -\iiint {\frac {\partial W_{em}}{\partial t}}\,\mathrm {d} \tau =\iiint \mathrm {div} \,{\vec {\Pi }}\cdot {\,\mathrm {d} \tau }+\iiint {\vec {\jmath }}\cdot {\vec {E}}{\,\mathrm {d} \tau }}$

soit, sous forme locale, pour un volume ${\displaystyle d\tau }$

${\displaystyle -{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {\varepsilon _{0}E^{2}}{2}}+{\frac {B^{2}}{2\mu _{0}}}\right)=\mathrm {div} \left({\frac {{\vec {E}}\wedge {\vec {B}}}{\mu _{0}}}\right)+{\vec {j}}\cdot {\vec {E}}}$

avec:

• ${\displaystyle {\vec {\Pi }}}$, vecteur de Poynting
• ${\displaystyle {\vec {E}}}$, champ électrique
• ${\displaystyle {\vec {B}}}$, champ magnétique
• ${\displaystyle {\vec {j}}}$, densité de courant
• ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$, permittivité du vide
• ${\displaystyle \mu _{0}}$, perméabilité du vide

Le théorème de Poynting peut se démontrer à partir de la force de Lorentz, de l'équation de Maxwell-Ampère et de l'équation de Maxwell-Faraday^[11].

La puissance échangée par une charge électrique q avec un champ électromagnétique (E, B) est donnée par :

$${\displaystyle P=\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} }$$

où v est la vitesse de la particule chargée, et où F est la force de Lorentz :

$${\displaystyle \mathbf {F} =q\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \wedge \mathbf {B} \right)}$$

On en déduit :

$${\displaystyle P=q\,\mathbf {E} \cdot \mathbf {v} }$$

Ce résultat indique que seul le champ électrique peut échanger de la puissance et donc de l'énergie avec la matière. En notant J la densité volumique de courant électrique, on peut donc affirmer que la puissance échangée par la matière contenue dans un volume V de l'espace avec le champ électromagnétique est donnée par :

$${\displaystyle P=\iiint \left(\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} \right)\,dV}$$

En considérant l'équation de Maxwell-Ampère :

$${\displaystyle \mathbf {rot} \!\left(\mathbf {B} \right)=\mu _{0}\,\mathbf {J} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}}$$

on remarque que celle-ci nous permet d'exprimer la densité de courant J en tout point de l'espace en fonction des champs E et B :

$${\displaystyle \mathbf {J} ={\frac {\mathbf {rot} \,(\mathbf {B} )}{\mu _{0}}}-\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}}$$

La puissance échangée par la matière avec le champ électromagnétique est donc :

$${\displaystyle P=\iiint \left(\left({\frac {\mathbf {rot} \,(\mathbf {B} )}{\mu _{0}}}-\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)\cdot \mathbf {E} \right)dV}$$

En développant, on obtient :

$${\displaystyle P=\iiint \left({\frac {\mathbf {rot} \,(\mathbf {B} )\cdot \mathbf {E} }{\mu _{0}}}-\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\cdot \mathbf {E} \right)dV}$$

On peut ensuite utiliser l'identité vectorielle suivante :

$${\displaystyle \mathbf {rot} \,(\mathbf {B} )\cdot \mathbf {E} =\mathbf {rot} \,(\mathbf {E} )\cdot \mathbf {B} -\mathrm {div} \,(\mathbf {E} \wedge \mathbf {B} )}$$

ce qui nous donne :

$${\displaystyle P=\iiint \left({\frac {\mathbf {rot} \,(\mathbf {E} )\cdot \mathbf {B} }{\mu _{0}}}-{\frac {\mathrm {div} \,(\mathbf {E} \wedge \mathbf {B} )}{\mu _{0}}}-\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\cdot \mathbf {E} \right)dV}$$

Pour finir, on utilise l'équation de Maxwell-Faraday :

$${\displaystyle \mathbf {rot} \!\left(\mathbf {E} \right)=-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$$

On obtient :

$${\displaystyle P=\iiint \left(-{\frac {1}{\mu _{0}}}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\cdot \mathbf {B} -{\frac {\mathrm {div} \,(\mathbf {E} \wedge \mathbf {B} )}{\mu _{0}}}-\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\cdot \mathbf {E} \right)dV}$$

Par ailleurs,

$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\cdot \mathbf {B} ={\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(B^{2}\right)\quad {\text{et}}\quad {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\cdot \mathbf {E} ={\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(E^{2}\right)}$$

ce qui conduit à :

$${\displaystyle P=\iiint \left(-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\varepsilon _{0}E^{2}+{\frac {B^{2}}{\mu _{0}}}\right)-{\frac {\mathrm {div} \,(\mathbf {E} \wedge \mathbf {B} )}{\mu _{0}}}\right)dV}$$

Finalement :

• [Akbi 2021] Mohamed Akbi, Ondes électromagnétiques : cours, applications, exercices corrigés, Paris, Ellipses, coll. « Technosup / électromagnétisme », septembre 2021, 1^re éd., VIII-395 p., 17,5 × 26 cm (ISBN 978-2-340-05453-0, EAN 9782340054530, OCLC 1274196875, BNF 46879944, SUDOC 257833846, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Benson 2015] Harris Benson (trad. de l'anglais, adapté par Mathieu Lachance, Bernard Marcheterre, Marc Séguin et Benoît Villeneuve), Physique [« University physics »], t. II : Électricité et magnétisme, Louvain-la-Neuve, De Boeck supérieur, coll. « Collection noire », septembre 2015, 5^e éd. (1^re éd. septembre 1999), XXII-593 p., 21 × 2,75 cm (ISBN 978-2-8041-9380-5, EAN 9782804193805, OCLC 922973630, BNF 45137141, SUDOC 188663096, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Chaichian et al. 2016] (en) Masud Chaichian, Ioan Merches, Daniel Radu et Anca Tureanu, Electrodynamics : an intensive course, Berlin et Heidelberg, Springer, hors coll., novembre 2016 (réimpr. juin 2018), 1^re éd., XVII-669 p., 15,6 × 23,4 cm (ISBN 978-3-642-17380-6 et 978-3-662-56853-8, OCLC 1026470856, DOI 10.1007/978-3-642-17381-3, SUDOC 196320240, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Deshmukh 2019] (en) P. C. Deshmukh, Foundations of classical mechanics, Cambridge, CUP, hors coll., décembre 2019, 1^re éd., XXX-560 p., 19,5 × 24,8 cm (ISBN 978-1-108-48056-7 et 978-1-108-72775-4, OCLC 1099275107, DOI 10.1017/9781108635639, SUDOC 256351058, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Poynting 1884] (en) J. H. Poynting, « On the transfer of energy in the electromagnetic field », Philosophical Transactions of the Royal Society, vol. 175,‎ décembre 1884, p. 343-361, article n^o XV (OCLC 8582165391, DOI 10.1098/rstl.1884.0016, JSTOR 109449, Bibcode 1884RSPT..175..343P, résumé, lire en ligne [PDF]) — article reçu le 17 décembre 1883 et lu le 10 janvier 1884.
• [Taillet, Villain et Febvre 2018] Richard Taillet, Loïc Villain et Pascal Febvre, Dictionnaire de physique, Louvain-la-Neuve, De Boeck supérieur, hors coll., janvier 2018, 4^e éd. (1^re éd. mai 2008), X-956 p., 17 × 24 cm (ISBN 978-2-8073-0744-5, EAN 9782807307445, OCLC 1022951339, BNF 45646901, SUDOC 224228161, présentation en ligne, lire en ligne), s.v. Poynting (théorème de), p. 592, col. 1.
• [Wen 2010] (en) Wen Geyi, Foundations of applied electrodynamics, Chichester, Wiley, hors coll., juin 2010, 1^re éd., XVIII-504 p., 17,3 × 25,2 cm (ISBN 978-0-470-68862-5, OCLC 758837767, DOI 10.1002/9780470661369, SUDOC 147978920, présentation en ligne, lire en ligne).

• Équations de Maxwell
• Vecteur de Poynting
• Formule de Larmor

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