Théorème de Radon

Le théorème de projection de Radon établit la possibilité de reconstituer une fonction réelle à deux variables (assimilable à une image) à l'aide de la totalité de ses projections selon des droites concourantes. L'application la plus courante de ce théorème est la reconstruction d'images médicales en tomodensitométrie, c'est-à-dire dans les scanneurs à rayon X. Il doit son nom au mathématicien Johann Radon.

En pratique, il est impossible de disposer de toutes les projections d'un objet solide, seulement un échantillonnage. Mais il existe des méthodes pour combler ce manque d'information conformément à ce que l'on sait a priori sur l'image, par exemple les méthodes d'entropie maximale (voir théorème de Cox-Jaynes).

On considère une fonction de deux variables ${\displaystyle f\,\colon \,(x,y)\mapsto f(x,y)}$, typiquement une densité définie dans le plan ${\displaystyle (x,y)}$ comme sur la figure ci-contre. On considère également une droite ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ de ce plan, normale à la direction d'angle ${\displaystyle \theta }$ par rapport à l'axe des abscisses, et de distance à l'origine ${\displaystyle r}$. Chaque point de cette droite peut être exprimé en fonction de ces deux paramètres, et d'une abscisse curviligne ${\displaystyle z}$ prise à partir du point de la droite le plus proche de l'origine, permettant la paramétrisation de la droite :$${\displaystyle {\begin{cases}x(r,\theta ,z)&=r\cos \theta +z\sin \theta \\y(r,z,\theta )&=r\sin \theta -z\cos \theta \end{cases}}\;.}$$L'intégrale $${\displaystyle \mathrm {R} f(r,\theta )=\int _{-\infty }^{+\infty }f(r\cos \theta +z\sin \theta \;;\;r\sin \theta -z\cos \theta )\operatorname {d} \!z}$$donne l'intégrale de ${\displaystyle f}$ le long de la droite ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$, et est définie comme la transformée de Radon le long de cette droite. En fixant l'angle ${\displaystyle \theta }$, on peut alors définir la fonction de projection de ${\displaystyle f}$ dans cette direction fixée, par la fonction ${\displaystyle \mathrm {R} f(\bullet ,\theta )\;\colon \;r\mapsto \mathrm {R} f(r,\theta )}$, telle qu'illustrée dans le schéma ci-contre. Cette projection donne le profil de densité de ${\displaystyle f}$ projeté sur la droite ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$.

Il est alors possible de faire balayer l'espace par ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ en faisant varier ${\displaystyle \theta }$ sur l'intervalle ${\displaystyle [0,\pi ]}$. Si l'on trace à présent ${\displaystyle \mathrm {R} f}$ sur un graphique avec, en abscisse, l'angle ${\displaystyle \theta }$ et, en ordonnée, la distance au centre ${\displaystyle r}$, on obtient un sinogramme, ainsi appelé parce que les courbes causées par la rotation prennent la forme de sinusoïdes.

La paramétrisation précédente peut se résumer à l'équation de droite suivante pour ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ : ${\textstyle x\cos \theta +y\sin \theta =r\,.}$ Partant de là, on peut aisément réécrire la transformée de Radon dans la direction ${\displaystyle \theta }$ par l'intégrale double :

${\displaystyle \mathrm {R} f(r,\theta )=\iint _{-\infty }^{\infty }f(x,y)\,\delta (x\cos(\theta )+y\sin(\theta )-r)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y}$

où ${\displaystyle \delta }$ est la fonction de distribution de Dirac, qui permet de n'intégrer ${\displaystyle f}$ que le long de la droite ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$. Cette notation est équivalente à la précédente.

Tant que l'espace est en deux dimensions, cette transformation est équivalente à la X-ray transform (en). Dans le cas où ${\displaystyle r}$ et ${\displaystyle \theta }$ sont discrets, la transformée de Radon est équivalente à la transformée de Hough pour une droite.

La reconstruction de la fonction ${\displaystyle f}$ en coordonnées polaires peut alors être réalisée à l'aide de la transformée inverse de Radon :

${\displaystyle {\hat {f}}(r,\theta )=\int _{-\infty }^{\infty }{\mathcal {F}}^{-1}[|\omega |]*\mathrm {R} f(x',\varphi )\,\mathrm {d} \varphi }$

où ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ est la transformée de Fourier. La transformée inverse de Radon consiste à filtrer toutes les projections et à les propager sur toute l'image dans la même direction où ils avaient été projetés ; d'où le nom « reconstruction par rétroprojection filtrée » parfois aussi utilisé.

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