Théorème de Sumihiro

En géométrie algébrique, le théorème de Sumihiro, publié par Hideyasu Sumihiro en 1974, affirme qu'une variété normale (en) munie d'une action d'un tore peut être recouverte par des sous-ensembles ouverts affines stables pour cette action.

Soit ${\displaystyle K}$ un corps algébriquement clos et ${\displaystyle T\simeq (K^{\times })^{n}}$ un tore algébrique. Soit ${\displaystyle X}$ une ${\displaystyle T}$-variété normale (en), c'est-à-dire un schéma réduit, séparé, de type fini sur ${\displaystyle K}$ muni d'une action de ${\displaystyle T}$ telle que l'application ${\displaystyle T\times X\rightarrow X}$ soit un morphisme. Alors ${\displaystyle X}$ possède un recouvrement d'ouverts affines ${\displaystyle T}$-stables.

L’hypothèse de normalité est nécessaire^[1], de même que le groupe agissant sur la variété doit être un tore^[2].

Les ouverts affines ${\displaystyle T}$-stables donnés par le théorème de Sumihiro pour une variété torique normale, sous l'action du tore ${\displaystyle T}$, correspondent à des cônes définissant un éventail^[3].

• Hideyasu Sumihiro, « Equivariant completion », J. Math. Kyoto Univ., vol. 14,‎ 1974, p. 1–28 (DOI 10.1215/kjm/1250523277 ).

• Alper, Hall et Rydh, « A Luna étale slice theorem for algebraic stacks », Annals of Mathematics, vol. 191, n^o 3,‎ 2015 (DOI 10.4007/annals.2020.191.3.1, arXiv 1504.06467)

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