Théorie conforme des champs en dimension 2

Une théorie des champs conforme en dimension 2 est une théorie des champs quantiques sur un espace euclidien bidimensionnel, qui est invariante sous les transformations conformes locales.

Contrairement à d'autres types de théories conformes des champs, en 2 dimensions l’algèbre de symétrie est de dimension infinie . Dans certains cas, cela permet de les résoudre exactement, grâce à la méthode du bootstrap conforme .

Parmi les théories de champs conformes bidimensionnelles notables, on peut citer les modèles minimaux, la théorie de Liouville, les théories bosoniques libres sans masse...

En 2 dimensions, les théories conformes des champs (CFT) sont définies sur des surfaces de Riemann, où les applications conformes locales sont des fonctions holomorphes . Étant donné une CFT, il est en effet possible de recoller deux surfaces de Riemann où elle existe, et d'obtenir la CFT sur la surface recollée^[1]. Par ailleurs, certaines CFT n'existent que sur la sphère. Sauf indication contraire, nous considérons les CFT sur la sphère dans cet article.

Étant donné une coordonnée complexe ${\displaystyle z}$, l' espace vectoriel réel des applications conformes infinitésimales a pour base ${\displaystyle (\ell _{n})_{n\in \mathbb {Z} }\cup ({\bar {\ell }}_{n})_{n\in \mathbb {Z} }}$, avec ${\displaystyle \ell _{n}=-z^{n+1}{\frac {\partial }{\partial z}}}$ . (Par exemple, ${\displaystyle \ell _{-1}+{\bar {\ell }}_{-1}}$ et ${\displaystyle i(\ell _{-1}-{\bar {\ell }}_{-1})}$ génèrent les translations.) Où l'ont fait l'hypothèse que ${\displaystyle {\bar {z}}}$ n'est plus le conjugué complexe de ${\displaystyle z}$ En complexifiant l'espace des applications conformes infinitésimales.

Avec leurs commutateurs naturels, les opérateurs différentiels ${\displaystyle \ell _{n}}$ génèrent l'algèbre de Witt. Où la relation de commutation est :

${\displaystyle [l_{m},l_{n}]=(m-n)l_{m+n}}$

Malheureusement cette algèbre contient une infinité d'états d'énergie négative non borné. Pour qu'une théorie physique puisse formuler des prédictions cohérentes, c'est-à-dire disposer d'une description en termes d'intégral de chemin, il doit exister un état d'énergie minimale appelé le vide.

L'énergie du vide est totalement arbitraire, puisqu'une constante scalaire centrale peut être ajoutée à l'hamiltonien. L'énergie du vide peut donc prendre des valeurs négatives pourvu qu'elle soit minorée.

Pour remédier à cette situation, l'algèbre de Witt est étendue de manière centrale afin d'offrir une plus grande variété de modules d'espace de Hilbert, incluant les représentations dites d'énergie positive, tout en préservant la quasi-totalité des relations de crochet de Lie entre opérateurs. Cette nouvelle algèbre est appelée algèbre de Virasoro, dont les générateurs sont ${\displaystyle (L_{n})_{n\in \mathbb {Z} }}$, plus un générateur central.

La relation de commutation devient alors:

${\displaystyle [L_{m},L_{n}]=(m-n)L_{m+n}+{\frac {c}{12}}(m^{3}-m)\delta _{m+n,0}.}$

Le générateur central prend une valeur constante ${\displaystyle c}$, appelée charge centrale. Les valeurs de ${\displaystyle c}$ pour lequel il existe une représentation d'énergie positive connue sont ${\displaystyle c\geq 1}$ ou ${\displaystyle c=1-{\frac {6}{\left(m+2\right)\left(m+3\right)}}}$ pour ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$.

L'algèbre de symétrie d'une CFT est le produit de deux copies commutatives de l'algèbre de Virasoro : l'algèbre holomorphe, avec des générateurs ${\displaystyle L_{n}}$, et l'algèbre antiholomorphe, avec générateurs ${\displaystyle {\bar {L}}_{n}}$^[2]. Ces deux copies sont également connues sous le nom d'algèbres chirales.

L' espace des états, également appelé spectre, d'une CFT, est une représentation du produit des deux algèbres de Virasoro.

Pour un état qui est un vecteur propre de ${\displaystyle L_{0}}$ et ${\displaystyle {\bar {L}}_{0}}$ avec les valeurs propres ${\displaystyle \Delta }$ et ${\displaystyle {\bar {\Delta }}}$

• ${\displaystyle \Delta }$ est la dimension conforme gauche,
• ${\displaystyle {\bar {\Delta }}}$ est la dimension conforme droite,
• ${\displaystyle \Delta +{\bar {\Delta }}}$ est l'énergie,
• ${\displaystyle \Delta -{\bar {\Delta }}}$ est le spin conforme.

Une théorie conforme des champs (CFT) est dite rationnelle si son espace d'états se décompose en un nombre fini de représentations irréductibles du produit des deux algèbres de Virasoro. Dans une CFT rationnelle définie sur toutes les surfaces de Riemann, la charge centrale et les dimensions conformes sont des nombres rationnels^[3].

Une représentation est dite diagonale si son espace d'états est une somme directe de représentations du type ${\displaystyle R\otimes {\bar {R}}}$, où ${\displaystyle R}$ est une représentation indécomposable de l'algèbre de Virasoro à gauche, et ${\displaystyle {\bar {R}}}$ est la même représentation de l'algèbre de Virasoro droite.

La théorie conforme des champs (CFT) est dite unitaire si l'espace des états a une forme hermitienne définie positive telle que ${\displaystyle L_{0}}$ et ${\displaystyle {\bar {L}}_{0}}$ sont auto-adjoints, ${\displaystyle L_{0}^{\dagger }=L_{0}}$ et ${\displaystyle {\bar {L}}_{0}^{\dagger }={\bar {L}}_{0}}$ Cela implique notamment que ${\displaystyle L_{n}^{\dagger }=L_{-n}}$ et que la charge centrale est réelle. L'espace des états est alors un espace de Hilbert . Bien que l'unitarité soit nécessaire pour qu'une théorie conforme des champs (CFT) soit un système quantique valide avec une interprétation probabiliste, de nombreuses CFT intéressantes sont néanmoins non unitaires, notamment les modèles minimaux et la théorie de Liouville pour la plupart des valeurs autorisées de la charge centrale.

La correspondance état-champ est une application linéaire ${\displaystyle v\mapsto V_{v}(z)}$ de l'espace des états à l'espace des champs, qui commute avec l'action de l'algèbre de symétrie.

En particulier, l'image d'un état primaire d'une représentation de poids minimal de l'algèbre de Virasoro est un champs primaire^[4] ${\displaystyle V_{\Delta }(z)}$, tel que

${\displaystyle L_{n>0}V_{\Delta }(z)=0\quad ,\quad L_{0}V_{\Delta }(z)=\Delta V_{\Delta }(z)\ .}$

On peut voir ceci comme la définition d'état primaire.

Les champs descendants sont obtenus à partir des champs primaires en agissant sur les modes de création : ${\displaystyle L_{n<0}}$.

Les champs dégénérés correspondent aux états primaires des représentations dégénérées. Par exemple, le champ dégénéré ${\displaystyle V_{1,1}(z)}$ obéit ${\displaystyle L_{-1}V_{1,1}(z)=0}$, en raison de la présence d'un vecteur nul dans la représentation dégénérée correspondante.

La fonction de corrélation à N-points est un nombre qui dépend linéairement de ${\displaystyle N}$ champs, écrit comme ${\displaystyle \left\langle V_{1}(z_{1})\cdots V_{N}(z_{N})\right\rangle }$ où ${\displaystyle i\neq j\Rightarrow z_{i}\neq z_{j}}$. Dans l'approche par bootstrap conforme, les fonctions de corrélation sont définies par des axiomes. En particulier, on suppose l'existence d'un développement en produits d'opérateurs (OPE)^[4]. Sous la forme :

${\displaystyle V_{1}(z_{1})V_{2}(z_{2})=\sum _{i}C_{12}^{v_{i}}(z_{1},z_{2})V_{v_{i}}(z_{2})\ ,}$

où ${\displaystyle \{v_{i}\}}$ est une base de l'espace des états, et les nombres ${\displaystyle C_{12}^{v_{i}}(z_{1},z_{2})}$ sont appelés coefficients OPE. De plus, les fonctions de corrélation sont supposées invariantes par permutation sur les champs :${\displaystyle V_{1}(z_{1})V_{2}(z_{2})=V_{2}(z_{2})V_{1}(z_{1})}$

La commutativité d'OPE implique directement que les champs primaires ont des spins conformes demi entiers : ${\displaystyle S\in \mathbb {Z} }$.

Il existe également des théories conformes des champs fermioniques qui incluent des champs fermioniques de spin conforme demi-entier. ${\displaystyle S\in {\tfrac {1}{2}}+\mathbb {Z} }$, qui anticommutent^[5].

Dans une théorie conforme des champs bidimensionnelle, les propriétés sont dites chirales si elles découlent de l'action de l'une des deux algèbres de Virasoro. Si l'espace des états peut être décomposé en représentations factorisées du produit des deux algèbres de Virasoro, alors toutes les conséquences de la symétrie conforme sont chirales. Autrement dit, les actions des deux algèbres de Virasoro peuvent être étudiées séparément.

La dépendance en position d'un champ ${\displaystyle V(z)}$est supposée être déterminée par

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}}V(z)=L_{-1}V(z).}$

Il s'ensuit que l'OPE

${\displaystyle T(y)V(z)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {L_{n}V(z)}{(y-z)^{n+2}}},}$

définit un champ localement holomorphe ${\displaystyle T(y)}$ qui ne dépend pas de ${\displaystyle y.}$ Ce champ est identifié au tenseur énergie-impulsion^[2]. En particulier, l'OPE du tenseur énergie-impulsion avec un champ primaire est

${\displaystyle T(y)V_{\Delta }(z)={\frac {\Delta }{(y-z)^{2}}}V_{\Delta }(z)+{\frac {1}{y-z}}{\frac {\partial }{\partial z}}V_{\Delta }(z)+O(1).}$

L'OPE du tenseur énergie-impulsion avec lui-même est

${\displaystyle T(y)T(z)={\frac {\frac {c}{2}}{(y-z)^{4}}}+{\frac {2T(z)}{(y-z)^{2}}}+{\frac {\partial T(z)}{y-z}}+O(1),}$

où ${\displaystyle c}$ est la charge centrale. Cette OPE est équivalent aux relations de commutation de l'algèbre de Virasoro.

Les identités de Ward conformes sont des équations linéaires auxquelles obéissent les fonctions de corrélation en raison des symétrie^[2]. Elles peuvent être obtenues en étudiant des fonctions de corrélation impliquant des insertions du tenseur énergie-impulsion.

Par exemple, considérons les identités de Ward conformes sur la sphère. ${\displaystyle z}$ est une coordonnée complexe globale sur la sphère complexe, pouvant être vu comme ${\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \}.}$ L'holomorphie du tenseur énergie-impulsion en ${\displaystyle z=\infty }$ est équivalent à

${\displaystyle T(z){\underset {z\to \infty }{=}}O\left({\frac {1}{z^{4}}}\right).}$^[6]

De plus, l'insertion ${\displaystyle T(z)}$ dans la fonction de corellation à N-points contenant uniquements des champs primaires donne

${\displaystyle \left\langle T(z)\prod _{i=1}^{N}V_{\Delta _{i}}(z_{i})\right\rangle =\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {\Delta _{i}}{(z-z_{i})^{2}}}+{\frac {1}{z-z_{i}}}{\frac {\partial }{\partial z_{i}}}\right)\left\langle \prod _{i=1}^{N}V_{\Delta _{i}}(z_{i})\right\rangle .}$^[6]

À partir de cette équation, il est possible de déduire des identités de Ward locales qui expriment les fonctions à N points composé de champs descendants en termes de fonctions à N points des champs primaires.

De plus, il est possible d'en déduire trois équations différentielles pour toutes fonction à N-points des champs primaires, appelées identités de Ward conformes globales :

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\left(z_{i}^{k}{\frac {\partial }{\partial z_{i}}}+\Delta _{i}kz_{i}^{k-1}\right)\left\langle \prod _{i=1}^{N}V_{\Delta _{i}}(z_{i})\right\rangle =0,\qquad (k\in \{0,1,2\}).}$

Ces identités déterminent comment les fonctions à deux et trois points dépendent de ${\displaystyle z,}$

${\displaystyle \left\langle V_{\Delta _{1}}(z_{1})V_{\Delta _{2}}(z_{2})\right\rangle {\begin{cases}=0&\ \ (\Delta _{1}\neq \Delta _{2})\\\propto (z_{1}-z_{2})^{-2\Delta _{1}}&\ \ (\Delta _{1}=\Delta _{2})\end{cases}}}$

${\displaystyle \left\langle V_{\Delta _{1}}(z_{1})V_{\Delta _{2}}(z_{2})V_{\Delta _{3}}(z_{3})\right\rangle \propto (z_{1}-z_{2})^{\Delta _{3}-\Delta _{1}-\Delta _{2}}(z_{2}-z_{3})^{\Delta _{1}-\Delta _{2}-\Delta _{3}}(z_{1}-z_{3})^{\Delta _{2}-\Delta _{1}-\Delta _{3}},}$

où les coefficients de proportionnalité indéterminés sont des fonctions de ${\displaystyle {\bar {z}}.}$

Ce résultat peut aussi être retrouvé à partir de l'axiome que les fonctions de corrélation sont invariente sous l'action de transformation conformes globale.

Un modèle minimal est une théorie conforme des champs dont le spectre est construit à partir d'un nombre fini de représentations irréductibles de l'algèbre de Virasoro. Les modèles minimaux n'existent que pour des valeurs particulières de la charge centrale^[2],

${\displaystyle c_{p,q}=1-6{\frac {(p-q)^{2}}{pq}},\qquad p>q\in \{2,3,\ldots \}.}$

Il existe une classification des modèles minimaux. En particulier, le modèle minimal de la série A avec charge centrale ${\displaystyle c=c_{p,q}}$ est une CFT diagonale dont le spectre est construit à partir de ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(p-1)(q-1)}$ représentations dégénérées de poids minimal de l'algèbre de Virasoro. Ces représentations dégénérées sont étiquetées par des paires d'entiers qui forment la table de Kac .

${\displaystyle (r,s)\in \{1,\ldots ,p-1\}\times \{1,\ldots ,q-1\}\qquad {\text{with}}\qquad (r,s)\simeq (p-r,q-s).}$

Par exemple, le modèle minimal de la série A avec ${\displaystyle c=c_{4,3}={\tfrac {1}{2}}}$ décrit les corrélateurs de spin et d'énergie du modèle d'Ising critique bidimensionnel .

Pour tout ${\displaystyle c\in \mathbb {C} ,}$ La théorie de Liouville est une CFT diagonale dont le spectre est construit à partir de modules de Verma avec des dimensions conformes

${\displaystyle \Delta \in {\frac {c-1}{24}}+\mathbb {R} _{+}}$

La théorie de Liouville est résolue, au sens où ses constantes de structure à trois points sont explicitement connues. Elle trouve des applications en théorie des cordes et en gravité quantique bidimensionnelle.

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