Théorie géométrique des groupes

La théorie géométrique des groupes est un domaine des mathématiques pour l'étude des groupes de type fini à travers les connexions entre les propriétés algébriques de ces groupes et les propriétés topologiques et géométriques des espaces sur lesquels ils opèrent. Les groupes sont vus comme des ensembles de symétries ou d'applications continues sur ces espaces.

Le graphe de Cayley du groupe libre à deux générateurs, a et b

Une autre idée importante de la théorie géométrique des groupes est de considérer les groupes de type fini eux-mêmes comme des objets géométriques, généralement via le graphe de Cayley du groupe étudié.

La théorie géométrique des groupes est relativement nouvelle en tant que branche distincte des mathématiques. Elle s'est constituée en un domaine à part entière à partir de la fin des années 1980. La théorie géométrique des groupes interagit avec la topologie de basses dimensions, la géométrie hyperbolique, la topologie algébrique, l'informatique théorique et la géométrie différentielle. Elle est également reliée à la logique mathématique, à l'étude des groupes de Lie, aux systèmes dynamiques, aux probabilités et à la K-théorie.

Histoire

La théorie géométrique des groupes est née de la théorie combinatoire des groupes, qui étudie les groupes discrets à l'aide de leurs présentations. Les bases de ce domaine ont été posées par Walther von Dyck, étudiant de Félix Klein, au début des années 1880^[1], même si on peut le faire remonter au calcul icosaédral (en) de William Rowan Hamilton. Aujourd'hui, la théorie combinatoire des groupes est considérée comme une partie de la théorie géométrique des groupes.

Au milieu du 20ème siècle, le travail de Max Dehn, Jakob Nielsen, Kurt Reidemeister, Otto Schreier, J._H._C._Whitehead, et Egbert van Kampen, parmi d'autres, introduisent des idées topologiques et géométriques dans l'étude des groupes discrets^[2]. D'autres précurseurs de la théorie géométrique des groupes sont la théorie de la petite simplification et la théorie de Bass-Serre.

On fait remonter l'émergence de la théorie géométrique des groupes en tant que branche distincte des mathématiques à la fin des années 80 et au début des années 90. Elle est lancée par la monographie de 1987 de Mikhail Gromov "Hyperbolic groups"^[3] qui introduit la notion de groupe hyperbolique. Celle-ci capture l'idée d'un groupe ayant des propriétés de courbure négative à grande échelle. Le travail de Gromov transforme l'étude des groupes discrets^[4]^,^[5]^,^[6] ; l'appellation "théorie géométrique des groupes" apparaît peu après^[7].

Références

↑ John Stillwell, Mathematics and its history, Springer, 2002 (ISBN 978-0-387-95336-6, lire en ligne), p. 374
↑ Bruce Chandler and Wilhelm Magnus. The history of combinatorial group theory. A case study in the history of ideas. Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences, vo. 9. Springer-Verlag, New York, 1982.
↑ Mikhail Gromov, Hyperbolic Groups, in "Essays in Group Theory" (Steve M. Gersten, ed.), MSRI Publ. 8, 1987, pp. 75–263.
↑ Iliya Kapovich and Nadia Benakli. Boundaries of hyperbolic groups. Combinatorial and geometric group theory (New York, 2000/Hoboken, NJ, 2001), pp. 39–93, Contemp. Math., 296, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2002. From the Introduction:" In the last fifteen years geometric group theory has enjoyed fast growth and rapidly increasing influence. Much of this progress has been spurred by remarkable work of M. L. Gromov [in Essays in group theory, 75–263, Springer, New York, 1987; in Geometric group theory, Vol. 2 (Sussex, 1991), 1–295, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1993], who has advanced the theory of word-hyperbolic groups (also referred to as Gromov-hyperbolic or negatively curved groups)."
↑ Brian Bowditch, Hyperbolic 3-manifolds and the geometry of the curve complex. European Congress of Mathematics, pp. 103–115, Eur. Math. Soc., Zürich, 2005. From the Introduction:" Much of this can be viewed in the context of geometric group theory. This subject has seen very rapid growth over the last twenty years or so, though of course, its antecedents can be traced back much earlier. [...] The work of Gromov has been a major driving force in this. Particularly relevant here is his seminal paper on hyperbolic groups [Gr]."
↑ Gabor Elek, « The mathematics of Misha Gromov », Acta Mathematica Hungarica, vol. 113, n^o 3,‎ 2006, p. 171–185 (DOI 10.1007/s10474-006-0098-5 , S2CID 120667382) :
« p. 181 "Gromov's pioneering work on the geometry of discrete metric spaces and his quasi-isometry program became the locomotive of geometric group theory from the early eighties." »
↑ Geometric group theory. Vol. 1. Proceedings of the symposium held at Sussex University, Sussex, July 1991. Edited by Graham A. Niblo and Martin A. Roller. London Mathematical Society Lecture Note Series, 181. Cambridge University Press, Cambridge, 1993. (ISBN 0-521-43529-3).

Voir aussi

Articles connexes

Liens externes

(en) Cornelia Druţu et Michael Kapovich (de), « Lectures on Geometric Group Theory », 2016
(en) Daniel T. Wise, « What is Geometric Group Theory? », sur Université McGill
(en) Clara Löh (de), « Geometric group theory, an introduction », sur mathematik.uni-regensburg.de

Bibliographie

(en) Martin Bridson et André Haefliger, Metric Spaces of Non-Positive Curvature, Springer, coll. « Grund. math. Wiss. » (n^o 319), 2013 (lire en ligne)

Portail des mathématiques

[stillwell374-1] John Stillwell, Mathematics and its history, Springer, 2002 (ISBN 978-0-387-95336-6, lire en ligne), p. 374

[2] Bruce Chandler and Wilhelm Magnus. The history of combinatorial group theory. A case study in the history of ideas. Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences, vo. 9. Springer-Verlag, New York, 1982.

[M._Gromov,_1987,_pp._75–263-3] Mikhail Gromov, Hyperbolic Groups, in "Essays in Group Theory" (Steve M. Gersten, ed.), MSRI Publ. 8, 1987, pp. 75–263.

[4] Iliya Kapovich and Nadia Benakli. Boundaries of hyperbolic groups. Combinatorial and geometric group theory (New York, 2000/Hoboken, NJ, 2001), pp. 39–93, Contemp. Math., 296, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2002. From the Introduction:" In the last fifteen years geometric group theory has enjoyed fast growth and rapidly increasing influence. Much of this progress has been spurred by remarkable work of M. L. Gromov [in Essays in group theory, 75–263, Springer, New York, 1987; in Geometric group theory, Vol. 2 (Sussex, 1991), 1–295, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1993], who has advanced the theory of word-hyperbolic groups (also referred to as Gromov-hyperbolic or negatively curved groups)."

[5] Brian Bowditch, Hyperbolic 3-manifolds and the geometry of the curve complex. European Congress of Mathematics, pp. 103–115, Eur. Math. Soc., Zürich, 2005. From the Introduction:" Much of this can be viewed in the context of geometric group theory. This subject has seen very rapid growth over the last twenty years or so, though of course, its antecedents can be traced back much earlier. [...] The work of Gromov has been a major driving force in this. Particularly relevant here is his seminal paper on hyperbolic groups [Gr]."

[6] Gabor Elek, « The mathematics of Misha Gromov », Acta Mathematica Hungarica, vol. 113, n^o 3,‎ 2006, p. 171–185 (DOI 10.1007/s10474-006-0098-5 , S2CID 120667382) :
« p. 181 "Gromov's pioneering work on the geometry of discrete metric spaces and his quasi-isometry program became the locomotive of geometric group theory from the early eighties." »

[7] Geometric group theory. Vol. 1. Proceedings of the symposium held at Sussex University, Sussex, July 1991. Edited by Graham A. Niblo and Martin A. Roller. London Mathematical Society Lecture Note Series, 181. Cambridge University Press, Cambridge, 1993. (ISBN 0-521-43529-3).

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