Thermostat (thermodynamique)

En thermodynamique, un thermostat, aussi appelé réservoir de chaleur, est un système idéalisé ayant une température constante utilisé pour réaliser des transferts thermiques (échanges de chaleur) avec un autre système placé à son contact. Le système et le thermostat n'échangent ni matière ni travail.

Au cours de la transformation, l'exergie décroît si le système est à une température différente du thermostat ; si le système et le thermostat sont en équilibre thermique permanent, c'est l'énergie libre du système qui décroît. Dans les deux cas, la transformation s'effectue à volume du système constant, et la température du système égale celle du thermostat à l'équilibre final de la transformation.

Un thermostat idéal possède un volume et une capacité thermique isochore infinis, ce qui implique une quantité de matière infinie. En pratique, la réalisation d'un thermostat s'effectue à l'aide d'un système très grand par rapport au système avec lequel il échange de la chaleur. Il est courant, pour maintenir la température du thermostat, d'utiliser un corps pur en équilibre de phases à pression donnée et une régulation de température.

En thermodynamique, un thermostat est un système idéalisé ayant les propriétés suivantes^[1],[2] :

• il est fermé, il n'échange pas de matière avec l'extérieur ;
• il n'échange aucun travail avec l'extérieur ;
• sa température ${\displaystyle T^{\circ }}$ est constante ;
• toute transformation du thermostat est réversible.

Soit un thermostat de volume ${\displaystyle V_{\text{th}}}$ et à la température ${\displaystyle T^{\circ }}$ subissant une transformation au contact d'un système extérieur.

Le premier principe de la thermodynamique implique que l'énergie interne ${\displaystyle U_{\text{th}}}$ du thermostat, système fermé, varie de façon élémentaire selon :

${\displaystyle \mathrm {d} U_{\text{th}}=\delta W_{\text{th}}+\delta Q_{\text{th}}}$

En supposant qu'il n'y a, lors de la transformation, aucune force impliquée autre que la pression ${\displaystyle P_{\text{th}}}$ du thermostat, on a, en l'absence de travail échangé entre le thermostat et l'extérieur, ${\displaystyle \delta W_{\text{th}}=-P_{\text{th}}\,\mathrm {d} V_{\text{th}}=0}$. La variation de volume du thermostat est donc nulle, ${\displaystyle \mathrm {d} V_{\text{th}}=0}$, et ce volume est par conséquent constant :

Volume du thermostat : ${\displaystyle V_{\text{th}}={\text{constante}}}$.

Les coefficients calorimétriques et thermoélastiques permettent également d'écrire de façon générale :

${\displaystyle \mathrm {d} U_{\text{th}}=C_{V,{\text{th}}}\,\mathrm {d} T^{\circ }+\left(l_{\text{th}}-P_{\text{th}}\right)\,\mathrm {d} V_{\text{th}}}$

avec :

• ${\displaystyle C_{V,{\text{th}}}}$ la capacité thermique isochore du thermostat ;
• ${\displaystyle l_{\text{th}}}$ le coefficient de dilatation isotherme du thermostat.

La variation d'énergie interne du thermostat s'écrit donc globalement, à volume ${\displaystyle V_{\text{th}}}$ constant :

${\displaystyle \mathrm {d} U_{\text{th}}=\delta Q_{\text{th}}=C_{V,{\text{th}}}\,\mathrm {d} T^{\circ }}$

d'où^[2] :

${\displaystyle \mathrm {d} T^{\circ }={\delta Q_{\text{th}} \over C_{V,{\text{th}}}}}$

Pour que la variation de température ${\displaystyle \mathrm {d} T^{\circ }}$ soit nulle quel que soit l'échange de chaleur ${\displaystyle \delta Q_{\text{th}}}$, la capacité thermique isochore ${\displaystyle C_{V,{\text{th}}}}$ doit être infinie^[2],[3],[4] :

Capacité thermique isochore du thermostat : ${\displaystyle C_{V,{\text{th}}}=+\infty }$.

Une capacité thermique étant une grandeur extensive, c'est-à-dire proportionnelle à la quantité de matière du système considéré, une capacité thermique infinie implique une quantité de matière infinie ; le volume d'un thermostat idéal est donc infini^[2],[3].

Quantité de matière du thermostat : ${\displaystyle n_{\text{th}}=+\infty }$.

Volume du thermostat : ${\displaystyle V_{\text{th}}=+\infty }$.

Toute transformation d'un thermostat est réversible^[1]. Par conséquent son énergie interne ${\displaystyle U_{\text{th}}}$ varie selon^[5],[6] :

${\displaystyle \mathrm {d} U_{\text{th}}=\delta Q_{\text{th}}=T^{\circ }\,\mathrm {d} S_{\text{th}}}$

${\displaystyle \Delta U_{\text{th}}=Q_{\text{th}}=T^{\circ }\,\Delta S_{\text{th}}}$

avec ${\displaystyle S_{\text{th}}}$ l'entropie du thermostat.

Soit un système en contact avec un thermostat. Il subit une transformation dans les conditions suivantes^[5] :

• le système et le thermostat forment ensemble un système isolé ;
• le système est fermé : il n'échange pas de matière avec le thermostat ;
• le système n'échange pas de travail avec le thermostat.

Le système n'échange donc que de la chaleur avec le thermostat.

En l'absence d'échange de matière et de travail avec le thermostat, le premier principe de la thermodynamique implique que l'énergie interne ${\displaystyle U}$ du système varie au cours de la transformation selon^[5],[6] :

${\displaystyle \Delta U=Q}$

avec ${\displaystyle Q}$ la chaleur échangée avec le thermostat au cours de la transformation.

Le premier principe de la thermodynamique implique également que l'énergie interne globale ${\displaystyle U+U_{\text{th}}}$ du système isolé constitué par le système et le thermostat est conservée au cours de la transformation. On a par conséquent, avec ${\displaystyle \Delta U_{\text{th}}=Q_{\text{th}}=T^{\circ }\,\Delta S_{\text{th}}}$ :

${\displaystyle \Delta U+\Delta U_{\text{th}}=Q+Q_{\text{th}}=0}$

d'où^[5],[6] :

${\displaystyle Q=-T^{\circ }\,\Delta S_{\text{th}}}$

Le deuxième principe de la thermodynamique énonce que l'entropie globale ${\displaystyle S+S_{\text{th}}}$ du système isolé, avec ${\displaystyle S}$ l'entropie du système, ne peut que croître au cours de la transformation :

${\displaystyle \Delta S+\Delta S_{\text{th}}\geq 0}$

d'où^[5] :

${\displaystyle T^{\circ }\,\Delta S\geq Q}$

On pose^[5] ${\displaystyle F^{\star }=U-T^{\circ }S}$, une forme d'exergie^[7]. On obtient finalement^[5] :

${\displaystyle \Delta F^{\star }=\Delta U-T^{\circ }\,\Delta S\leq 0}$

On a ainsi la fonction caractéristique de la transformation^[5] :

Lors d'une transformation impliquant un système fermé n'échangeant que de la chaleur avec un thermostat à température ${\displaystyle T^{\circ }}$, la fonction exergie ${\displaystyle F^{\star }=U-T^{\circ }S}$ ne peut que décroître. À l'équilibre, cette fonction atteint un minimum[5].

On a, puisque la température ${\displaystyle T^{\circ }}$ du thermostat est constante^[8] :

${\displaystyle \mathrm {d} F^{\star }=\mathrm {d} U-T^{\circ }\,\mathrm {d} S}$

On suppose que le système subit une transformation durant laquelle son énergie interne ${\displaystyle U}$ varie selon^[8] :

${\displaystyle \mathrm {d} U=\delta Q=-P\,\mathrm {d} V+T\,\mathrm {d} S}$

avec :

• ${\displaystyle P}$ la pression du système ;
• ${\displaystyle V}$ le volume du système ;
• ${\displaystyle T}$ la température du système ;
• ${\displaystyle S}$ l'entropie du système.

Par définition, le volume global du système isolé constitué par le système et le thermostat est invariant : ${\displaystyle V+V_{\text{th}}={\text{constante}}}$, d'où ${\displaystyle \mathrm {d} V+\mathrm {d} V_{\text{th}}=0}$. Or le volume ${\displaystyle V_{\text{th}}}$ du thermostat est invariant, ${\displaystyle \mathrm {d} V_{\text{th}}=0}$, d'où ${\displaystyle \mathrm {d} V=0}$ : le volume ${\displaystyle V}$ du système est invariant. On a donc^[8] :

${\displaystyle \mathrm {d} U=T\,\mathrm {d} S}$

et finalement^[8] :

Au cours de la transformation : ${\displaystyle \mathrm {d} F^{\star }=\left(T-T^{\circ }\right)\,\mathrm {d} S\leq 0}$

À l'équilibre, la fonction exergie ${\displaystyle F^{\star }}$ est à un minimum et ne varie plus, soit ${\displaystyle \mathrm {d} F^{\star }=0}$. Par conséquent, la transformation étant effectuée à volume constant^[8] :

${\displaystyle \left({\partial F^{\star } \over \partial S}\right)_{V}=T-T^{\circ }=0}$

d'où la condition d'équilibre^[8] :

À l'équilibre : ${\displaystyle T=T^{\circ }}$, la température du système est égale à la température du thermostat, le système et le thermostat sont à l'équilibre thermique[8].

La température ${\displaystyle T}$ du système peut être différente de la température ${\displaystyle T^{\circ }}$ du thermostat durant toute la transformation, y compris au début de celle-ci. Cependant, à la fin de la transformation, à l'équilibre, les deux températures doivent nécessairement s'égaliser, sans quoi la transformation se poursuit, ${\displaystyle F^{\star }}$ n'ayant pas atteint son minimum.

Ainsi, à l'équilibre du système et du thermostat, on a^[8] :

${\displaystyle F^{\star }=U-T^{\circ }S=U-TS=F}$

La fonction ${\displaystyle F}$ est l'énergie libre du système. On peut par conséquent écrire les conditions de toute transformation dans laquelle le système et le thermostat sont en équilibre thermique permanent^[9] :

Lors d'une transformation impliquant un système fermé n'échangeant que de la chaleur avec un thermostat à température ${\displaystyle T^{\circ }}$, si le système est en permanence en équilibre thermique avec le thermostat, soit ${\displaystyle T=T^{\circ }}$ durant toute la transformation, alors la fonction énergie libre ${\displaystyle F=U-TS}$ ne peut que décroître. À l'équilibre, cette fonction atteint un minimum[9].

Les fonctions ${\displaystyle F^{\star }}$ et ${\displaystyle F}$, quoique proches, ne sont égales qu'à l'équilibre. La fonction exergie ${\displaystyle F^{\star }}$ s'applique lorsque la température du système diffère de celle du thermostat. La fonction énergie libre ${\displaystyle F}$ ne s'applique que lorsque les deux températures sont égales tout au long de la transformation. Dans les deux cas, la transformation a lieu à volume constant.

Dans la pratique, un thermostat est réalisé par un système très grand par rapport au système étudié avec lequel il échange de la chaleur, comme l'atmosphère, un océan ou un lac par rapport à un réacteur chimique^[2],[3].

Un corps pur en équilibre de phases à pression constante se maintient à température constante tout au long de la transition de phase et peut donc également constituer un bon thermostat^[4] ; par exemple, à pression atmosphérique (101 325 Pa) de l'eau liquide en équilibre avec de la glace reste à température constante de 0 °C, en équilibre avec de la vapeur elle est à 100 °C.

Un thermostat peut être réalisé avec une régulation de température agissant sur une source chaude (une résistance électrique, une alimentation de vapeur, un fluide caloporteur…) et une source froide (de l'eau froide, un fluide frigoporteur…)^[4].

• Nicolas Choimet, Thermodynamique PC-PSI, Éditions Bréal, 2004 (ISBN 9782749520483, lire en ligne).
• Pierre Infelta et Michael Graetzel, Thermodynamique : Principes et Applications, Boca Raton, Floride, BrownWalker Press, 2006, 484 p. (ISBN 1-58112-995-5, lire en ligne).
• Thierry Meyer, La thermodynamique en prépa et à l'agrégation : Outils mathématiques de la physique – Compléments de cours X-ENS, Éditions Ellipses, 2018, 444 p. (ISBN 9782340087842, lire en ligne).
• Michel Pullicino, Thermodynamique : tout le cours PCSI MPSI PTSI, Nathan, coll. « classe prépa », 157 p. (ISBN 9782098121539, lire en ligne).
• Richard Taillet, Loïc Villain et Pascal Febvre, Dictionnaire de physique, Louvain-la-Neuve/impr. aux Pays-Bas, De Boeck supérieur, 2018, 4^e éd., 976 p. (ISBN 978-2-8073-0744-5, lire en ligne).

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